《高等数学》第五章定积分及其应用（电子讲稿）

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1、第五章定积分及其应用在第四章，我们讨论了积分学的第一个基本问题一一不定积分，它是作为微分的逆运算而引入的.从本章开始，我们将研究积分学屮的第二个基本问题一一定积分.第一节定积分的概念与性质定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.古希腊的阿基米德用“穷竭法”，我国的刘徽用“割圆术”，都曾计算过一些几何图形的面积和体积，这些均为定积分的雏形•直到17世纪屮叶，牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分Z间的内在联系潍出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起

2、,构成完整的理论体系一一微积分学.—、引例1-曲边梯形的面积中学里我们已经学会了正方形、三角形、梯形等平面图形面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段.但在生活与工程实际中经常接触的大多数都是曲边图形，它们的面积怎么计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时期，我国数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”，把圆的面积近似看成多边形面积来计算.y=fM先从平面图形中较为简单的曲边梯形的面积问题来加以考虑，所谓曲边梯形是指如图5-1所示的图形，设这曲边梯形是由连续曲线y=

3、f(x)(不妨设/(x)^0)和直线x===0所围成.为了求其面积，我们用任意分割、近似代替、求和、取极限的思想来解决.具体步骤如下：图5-1(1)任意分割.在［。上］内任意插入—1个分点，(图5-2)使a=xQ

4、小时，用X为宽,/(§)为高的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积=1,2,•••/),即(3)求和.将这〃个小曲边梯形面积的近似值相加，就得到曲边梯形的面积/的近似值，即(4)取极限.显然，分割越细,即^(/=1,2,...,7?)越小，则/(&)•$的值与乂就越接近，从而也越接近于曲边梯形的面积力，为了保证每个小区间的长度无限小，令i=lA=max{AxpAr2/・・,Ay},当/ITO日寸(这时小区间数77无限增多，即/7Too),若的极限存在，则可以认X=1为此极限就是曲边梯形面积力的精确值，即1=1于是曲边梯形的面积归结为一个

5、和式的极限问题.2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动，且其速度V=v(Z)是时间段⑺込］上的/的连续惭数(叩)20),求该物体在该时I'可段内所经过的路程S.这是一个变速直线运动的路程问题.在物理学中，我们知道匀速直线运动的路程计算公式为路程=速度x时间.因为物体作变速直线运动，则路程不能简单地按匀速直线运动的路程公式来计算.解决这个问题的思路和步骤与求曲边梯形的面积相似.(1)任意分割：用分点Ta

6、们的长度为Ar,一£(7=1,2,•••/).(2)近似代替：把每小段时间［/-/］上的运动视作匀速，任选一时刻作乘积(心1,2,・・・/),显然在这小段时间内所经过的路程A5,可近似地表示为g吨)M(心1,2,…，小(3)求和：将"个小段时间上的路程相加，就得总路程S的近似值为f=l/=1(4)取极限：显然，当2=max{Ar/}->0(7=1,2,…，”)时，若£】《)•△*.的极限存在，J=1则这个极限值可以作为S的精确值，即S巳映£临)创•/=1上述两个实际问题，虽然意义不同，但解决问题的方法完全相同，都是采用任意分割、近似代

7、替、求和、取极限4个步骤，并且最终具有相同的结构一一和式的极限.二、定积分的定义从上面两个例子可以看出，不管是求曲边梯形的面积还是变速直线运动的路程,它们都归结为对问题的某些量进行“任意分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如XM)Ax,的极限问题.匸I我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，由此可以给出定积分的定义如下：KE设函数/⑴在区间［a,b］±有界，任取分点，a=xQ

8、度.在每个小区间上任取一点gW&WxJ,作函数值/忆)与相应小区间长度Ax,的积/(6)0(匸1,2,••・/),并作和式£/(§)•Ax,,/=1记2=max{ArpAr2,---,Ar,f},如果不论对［a,/?］怎