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《同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、...第五章定积分及其应用本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.第1节定积分的概念与性质1.1定积分问题举例1.1.1曲边梯形的面积曲边梯形设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续由直线xa,xb,y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧yf(x)称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间a,b中
2、任意插入若干个分点（图5-1）ax0xxxnxnb,121把a,b分成n个小区间x0,x1,x1,x2,x2,x3,,xn1,xn,它们的长度依次为x1xx,xxx,,xnxnxn.102211经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间xi1,x上任取一点i,以xi1,xi为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯i形，i1,2,3,,n，把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即nAf(1)xf()xf(n)xf()x.122niii1求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边
3、梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲
边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记max1,x,,xn,x于是上述增加分点使每个2小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0.所以曲边梯形的面积为nAlimf0i1(i)xi.......1......图5-11.1变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔T1,T2上t的连续函数且v(t)0,计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T1,T2分成n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内物体运动看成
4、是均速的其速度近似为物体在时间间隔t内某点i的速度v(i)物体在时间i间隔t内运动的路程近似为siv()t.把物体在每一小的时间间隔iiit内运动的路i程加起来作为物体在时间间隔T1,T内所经过的路程S的近似值具体做法是2在时间间隔T1,T2内任意插入若干个分点Tit0tttntnT1212,T1,T分成n个小段2t0,t1,t1,t2,tn1,tn,各小段时间的长依次为t1tt,t2t2t1,,tntntn1.10相应地在各段时间内物体经过的路程依次为s1,s2,,sn.2......在时间间隔ti1,ti上任取一个时刻i(ti1iti),
5、以i时刻的速度v(i)来代替ti1,t上各个时刻的速度得到部分路程si的近似值即isiv(i)ti(i1,2,,n).于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值即nSv(i1it)i求精确值记maxt1,t2,,tn,当0时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程nSlim0i1v(i)ti1.1定积分的概念抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数yf(x)在a,b上有界在a,b中任意插入若干个分点ax0xxxnxnb,121把区间a,b分成n个小区间x0,x1,
6、x1,x2,x2,x3,,xn1,xn,各小段区间的长依次为x1xx,x2x2x1,,xnxnxn1.10在每个小区间xi1,x上任取一个点i,作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积if(i)xi(i1,2,,n)并作出和nSf(i1i)xi记maxx1,x,,xn,如果不论对a,b怎样分法也不论在小区间xi1,xi上点2i,怎样取法只要当0时和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f在区间a,b上的定积分记作(x)baf(x)dx即baf(x)dxlim0in1f()ixi......3......其中f(x)叫做被积函数f(x)d
7、x叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限a,b叫做积分区间根据定积分的定义曲边梯形的面积为bAf(x)dxaT2变速直线运动的路程为STv(t)dt1说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即babbf(x)dxf(t)dtf(u)duaan(2)和f(i)x通常称为f(x)的积分和ii1(3)如果函数f(x)在a,b上的定积分存在我们就说f(x)在区间a,b上可积函数f(x)在a,b上满足什么条件时f(x)在a,b上可积呢？定理1设f(x)在区间a,b上连续则f(x)在a,b上可积定理2设f(x
8、)在区间a,b上有界且只有有限个间断点则f(x)在a,b上可积定积分的几何意义设f(x)是a,b上的连续函数，由曲线yf(x)及直线xa,xb,y0所围成的曲边梯形
