第五章定积分及其应用-答案

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1、第五章定积分及其应用第一节定积分的概念1・填空题（1）函数/（兀）在区I'可［a.b］上的定积分是积分和的极限,即bJ{x）dx=——Um£怡禺1=1（2）根据定积分的几何意义计算,［y/e2—X2dx=Jo

2、］（2兀+2）心=,J0sinxdx=D.不能确定D.积分区间长度e兀（3）sinxdx=0.J-疗fb（4）1dx=b-a•Ja2.选择题（1）定积分J；£ln血仕的值的符号为（B）.2A.大于零B.小于零C.等于零（2）定积分bj{x）dx的值与那些量无关（A）.A.积分变量B.积分区间C.被积函数(3)/(x)

3、在区间［a,b］±.可积，则下列说法错误的是(A).A.f(x)在区间［⑦切上连续B.f{x)在区间［a.b］±有界C./2(x)在区间［a,切上可积D.

4、/(x)

5、在区间［a,切上可积(4)下列函数在区间［0,1］上不可积的是(D).A.sinx1，B.心严穿八丿［0,X=0或x,0

9、区间的中点.计算函数/（x）=在［0,4］上的特殊的积分和.HJ解：口八§）=£/@）纸Z=1f=l&」2(2i-1))4_右(2⑵-1)V4n=h[~~-16(4n2-n)_3^7*.若函数/（x）在区间±［a,b］上无界，证明函数几兀）在［a,闰上不可积.证明：因为/（兀）在区间［a,b］上无界，对［a,b］的任意分法，必至少有一个小区间，不妨设为［xo,xj,函数/（兀）在［兀0,西］上无界.从而，有2(财)

10、=

11、丈/@)xl=l/(6)x+^/(6)3l/=!/=2耳/@)31-

12、工/@)31i=2取定§圧［心,兀］,

13、心2,3,・・・丿,丨工/(切丄

14、是正常数•设i=2a=i£/@)x・ii=2因为函数/(兀)在［亦］上无界，即对任意M>0,3^1e［x0,x1］,有1/(^.)1>M+AAx〕于是对任意A/>0,3^(e［xq^xJ，有ATj即积分和cr(T^)无界，从而，积分和不存在极限.故函数/(%)在［⑦切上不可积.(1兀为有理数&证明：狄利克雷函数D(x)='M叫，在区间［0」］上不可积.0,兀为尢理数证明：事实上，对［0,1］的任意分法.因为在［0,1］的有理数与无理数是处处稠密的，所以在每个小区间上既存在有理数乂存在无理数.

15、若每个6収为无理数，则积分和b⑺§）=工。（6）込・-o/=

16、若每个6収为有理数，则积分和b⑺§）=工D（$）UX-I/=i/=i于是，当QtO时，积分和不存在极限，即狄利克雷函数£＞（兀）在区间［0,1］上不可积.9.设/（兀）在［a+c,b+c］上可积，证明/（兀）在［a,b］±也可积，且证明：因对［a+c,b+c］的任意分法,每个G［也眄］u［a+c,b+c］,则积分和的极限存在，即limo-（T^）=niri^/@）*=匸：/（兀）dx/=1故对［a,b］的任意分法,每个gc［a,b］c［a+c,b+c］,则积分和的极

17、限存在，即/=

18、若取$+cw[兀_]+c,xf+c]c[a+c,/?+c],贝9=烛£/(£•)’•=^£/@+c)込•=J：/S+cM/=!z=l10.设/(x)=1.x=c.ce仏b),0,xg[a,c)U(c,b],证明Jf(x)dx=0.证明：因在有限区间上只有有限个