第五章定积分及其应用习题

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1、第五章定积分及其应用【内容提要1.定积分的概念和性质(1)定积分的定义设/(x)是定义在［a,b］上的函数，在区间内仟意插入n-1个分点a=x0

2、式，X称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，［a,b］称为积分区间。(2)定积分的性质1)常数因子可以捉到积分号外(妙(兀=/(兀)dr(R为常数)。2)函数代数和的积分等于它们积分的代数和。3)对任意单个实数a,b,c,恒有£/(x)dx=£/(x)dx+f(x)dx04)若在区间⑺上］4)若在区间⑺上］上，被积函数/(x)hK,那么(f(x)dx=(Kdx=K^dx=K(b-a)特别地，当K=1时，f(x)dx=KAx-b-a5)如果在区间［a,b］上，f(x)

3、/(x)在闭区间［a,b］上的最大值和最小值分别为M和m,则设函数/(x)在闭区间［G,b］上连续，则在区间［a.b］上至少存在一点使7)得£/(x)cLy=、f©(b-a)1.定积分的计算(1)牛顿-莱布尼兹公式如果函数/(x)在区间［d,b］上连续，冃.F(x)是/(X)的任意一个原函数，那么「f(x)dx=F(b)-F(a)oJa(2)定积分的换元法设函数/(X)在区间［a,b］±.连续，并月•满足下列条件:(1)x=(p(t),且a=®(a),b-；(2)0(/)在区间［a,0］上单调且有连续的导数0(/):(3)当/从Q变到0时

4、，。⑴从d单调地变到Z?。则有■⑴ck=JaJa(1)定积分的分部积分法设函数u=“⑴和v=v(x)在区间［a,b］上有连续的导数，则有fw(x)vz(x)dx=［w(x)v(x)Y'-fv(x)u(x)dxJaJa2.定积分的应用实际应用时，通常按以下简化步骤來进行：(1)根据实际悄况选取积分变量X,并确定相应的积分区间［a,h］o由于分割的任意性,为简便起见,对AS产/(《)’省略下标,得AS*/(^)Ax,用［x,x+dx］表示［a,b］内的任一小区间，并取小区间的左端点兀为则45的近似值就是以ck为底，/(兀)为高的小矩形的而积，

5、WAS-/(x)(ko用微分表示，则有微元dS=f(x)dx「b(2)将所启部分最累加起来，便得到所求最S的积分表达式S=f/(x)dx,然后Ja计算它的值。利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。1)定积分在几何上的应用，求平而图形的而积和旋转体的体积。2)定积分在物理上的应用，求液体的压力和变力做功。3.广义积分和「函数(1)广义积分ff(x)dx，此吋称无穷积Ja1)无穷积分设函数连续，若极限limff(x)dx存在，贝ij称此极限值为函数/(对在无限区间S,+oo)上的无穷积分，记作p/(x)dx=limJafe

6、—>4-00分广/(x)dx存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分p/(x)ck不存在或发散。类似地，可以定义/(x)在无限区间(一汽切上的广义积分ff(x)dx=limff(x)dxJ~ooaT—<»Jd・也可定义/(x)在无限区间(一汽+8)上的广义积分L/(x)(k=j^/(x)dx+£/(x)dv2)瑕积分设函数/(x)在［d,b)内连续，x=b是/(x)的瑕点，有lim/(%)=oo0£T(rJu若极限limf(x)dx存在，则称此极限值为函数/(x)在［d,b)上的瑕积分或无界函数的广义积分，记作ff(x)dx,并称瑕积分r

7、f(x)dx收敛，即JaJuf/(x)dx=limf'f(x)dxJa£—>()+Ja若极限不存在，贝u称瑕积分r/(x)ck发散"Ja(2)r函数将含参变量s(s>0)的广义积分「(s)=「兀dr,(s>0)称为r函数。【习题解答】5-1用定积分表示下列问题中的量纲。(1)圆兀2+y2=4q2的面积;1?(2)抛物线y=-x2,直线x=2及兀轴所围成的图形面积；•2(3)质量加关于时间(的减少率为罟■二/(0=-0.05r的葡萄糖代谢在心到乙这段时间内减少的质量加。解(1)5=4fyja2-x2dx(1)m=(-O.O5f)dz5-2根

8、据定积分的性质比较下列积分的大小。(3)兀4arctanxdx与o7T_:(arctanx)2dx(2)「42Inxdx与J§(In兀)“drJiJl+兀"与J^(l+x2)dx(4)J。'(