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《高等数学 上 教学课件 作者 陶金瑞 第五章 定积分及其应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章定积分及其应用学习目标：1、理解定积分概念的实质；2、掌握计算定积分的方法；3、会用定积分解决简单的实际问题。《高等数学》第一节 定积分的概念第二节 微积分基本公式第三节 定积分的换元法第四节 定积分的分部积分法第五节 无穷区间上的广义积分第六节 定积分的应用举例内容提要第一节定积分的概念重点：定积分的概念和性质难点：定积分概念的理解abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、两个实例abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（
2、九个小矩形）曲边梯形如图所示，,],[1210bxxxxxabann=<<<<<=-L个分点，内插入若干1、在区间;],[],[11---=Diiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixxx],[1-为高的小矩形面积为为底，2、以)(],[iifxx1ix-3、曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为时，趋近于零即小区间的最大长度4、当分割无限加细)0(},,max{,21®DDD=llnxxxL实例二、求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段
3、上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。设某物体作直线运动，已知速度)(tvv=是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(³tv，求物体在这段时间内所经过的路程.（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值二、定积分的定义定义设函数)(xf在],[ba上有界，1--=Diiixxx，),2,1(L=i，一点ix（iixDÎx），在],[ba中任意插入若干个分点把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长
4、度依次为在各小区间上任取作乘积iixfD)(x),2,1(L=i并作和iinixfSD=å=)(1x，记},,,max{21nxxxDDD=Ll，如果不论对],[ba被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和怎样的分法，也不论在小区间],[1iixx-上点ix怎样的取法，只要当0®l时，和S总趋于确定的极限I，在区间],[ba上的定积分，积分区间],[ba注意：（1）定积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.（2）定义中区间的分法和ix的取法是任意的.（3）当函数)(xf
5、在区间],[ba上的定积分存在时，称)(xf在区间],[ba上可积.定理1定理2三、存在定理当函数)(xf在区间],[ba上连续时，称)(xf在区间],[ba上可积.设函数)(xf在区间],[ba上有界，且最多只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.四、定积分的几何意义几何意义：ab积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．所围的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是由xxbxaxxfx==,)(例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积解：根据定积分的几何意义得（ａ）()ò-
6、=baabccdx（ｂ）dxexò-11（ｃ）2110=òdxx（ｄ）dxxdxxòò-ppp20sinsin例２画出下列定积分所表示的几何意义，并利用几何意义计算其值.（１）dxxò-11；（２）dxxò-11；（３）()dxxò-+12112；（４）dxxò--11.解：根据定积分的几何意义，解题如下：（1）02111=+-=ò-AAdxx，（2）121212111=+=+=ò-AAdxx思考：当被积函数是奇函数或偶函数时，积分有什么规律？（3）()12121+ò-dxx（4）11=-ò-dxx
7、对定积分的补充规定:说明：在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．五定积分的性质（1）当ba=时，0)(=òbadxxf；（2）当ba>时，òò-=abbadxxfdxxf)()(.证性质1证性质2òò=babadxxfkdxxkf)()((k为常数).例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3证性质4证由闭区间上连续函数的介值定理知性质5（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：在区间],[ba上至少存在一个点x，第二节微积分基本公式重点：牛顿—莱布尼兹公式难
8、点：积分上限的函数变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出设某物体作直线运动，已知速度)(tvv=是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(³tv，求物体在这段时间内所经过的路程.考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质证由积分中值定理得它说明，()xF是()xf的一个原函数，从而有如下的另一个重要定理：[]ba,定理２如果()xf在区间上连续，则()xf的原函数一定存在，()
