高等数学 上 教学课件 作者 陶金瑞 第三章 导数的应用.ppt

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1、第三章导数的应用学习目标：1、会用导数求函数的极限、讨论函数性态；2、掌握导数在实际中的一些简单应用。《高等数学》中值定理罗比达法则函数的单调性与极值函数的最大值与最小值曲线的凹凸性与拐点主要内容函数图像的描绘曲线的曲率一、拉格朗日(Lagrange)定理定理1:第一节拉格朗日定理洛必达法则拉格朗日中值定理可由下图来说明图3-1拉格朗日中值定理的证明:构造辅助函数拉格朗日中值公式回忆极限的四则运算法则:四则运算法则不能用！二、洛必达法则定理2：1、型未定式[解][解][解]定理3：2、型未定式[解][解]3、其他未定

2、型极限[解][解]这显然是一个错误的结果!注意3：只有未定式才能使用洛必达法则,非未定式极限应使用极限运算法则来处理.有些未定式,使用多次洛必达法则之后,已经成为非未定式极限,就不能再使用洛必达法则了.一、函数单调性的判定第二节函数的单调性与极值观察下列图形,能否发现其规律性?函数单调性的判别方法定理1:练一练例1.[解]练一练例2.[解]驻点注意例3例4例5定理3(极值存在的充分条件)二、函数的极值根据定义，结合下边图形，你是否能对极值做几点说明?注意[解][解]一、函数的最值第三节函数的最大值与最小值如图注意可见

3、[解][解]思考(二)函数的最值应用举例解:如图所示，设截去的小正方形边长为x，则做成的方匣容积为y=(48-2x)2x[例3]设有一块边长为48cm的正方形铁皮，从其各角截去同样的小正方形，做成一个无盖的方匣，问截去多少，方能使做成的匣子的容积最大?本题就归结为求函数y=(a-2x)2x在中的最大值问题了.令y′=12(24－x)(8－x)=0得当时，y′=0，所以截去边长为的小正方形时，所做匣子的容积最大.[例4]设由电动势E、内阻r与外阻R所构成的闭合电路如图所示，在r与E已知时，R等于多少才能使电功率最大?

4、解:由电学知道，消耗在外阻R上的电功率为P=I2R，I为回路中的电流.由欧姆定律知电流强度，所以电功率P为R的函数：(R＞0)解方程P′=0，得P在区间(0，+∞)内有唯一驻点R=r.由该问题的实际意义可知，电功率的最大值是存在的，故这唯一的驻点R=r处，电功率P取得最大值，即当外阻等于内阻时输出功率最大，最大功率为.因为练一练练一练[解]第四节曲线的凹凸性与拐点1.凹凸性的定义如图如图连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．2.凹凸性的判别方法(1)(2)注意答案练一练例1答案练一练例2答案练一练例3答案练一练

5、例4第五节函数图像的描绘一、曲线的渐近线曲线渐近线的求法例1二、函数图像的描述[解]极大凸凹凸凹拐点极小[解]极大凹凹凸凸拐点拐点第六节曲线的曲率一、曲线的曲率及其计算公式注意曲率问题就是研究曲线的弯曲程度问题平均曲率而曲率公式[解]二、曲率圆和曲率半径