高等数学 下 教学课件 作者 陶金瑞 第九章 无穷级数.ppt

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1、第九章无穷级数学习目标：理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正项级数和交错级数的审敛法；掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函数用间接展开法展开成幂级数；掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级数的方法。《高等数学》内容提要第一节无穷级数概念与性质重点：（1）级数及其收敛与发散（2）级数的基本性质（3）级数收敛的必要条件难点:用定义判断级数的敛散性一、无穷级数的基本概念二、数项级数的收敛和发散例1讨论级数101解：这是以为公比的等比级数，分别取级数的前1项，前2项，…前n项做和：……………………判定下列级数的敛

2、散性（1）（2）（3）（4）解：（1）级数的部分和为所以级数发散。（2）级数的部分和为，，，，……即，所以不存在，所以级数发散。（3）因为，所以级数的部分和为而所以级数收敛，其和为。（4）因为，所以而所以级数发散。例3讨论等比级数（又称几何级数）的敛散性。解：此级数的部分和为三、无穷级数的性质性质1若，C为常数，则。性质2若，，则有性质3一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散性（但收敛级数的和要变）。性质4收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，其和不变。注意：性质4的逆命题是错误的。例4判别级数是否收敛，如

3、果收敛，并求其和。解：是的等比级数，收敛并且和为。同理根据级数的性质1，2可知，也收敛，其和为四、级数收敛的必要条件只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；定理：若级数收敛，则。注：1）2）若不成立，则级数必定发散。我们经常用这个结论来证明级数发散。例5判别级数的敛散性。解：所以由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。第二节正项级数重点：正项级数收敛性的两个判别法难点：比较判别法中尺度的选择一、比较审敛法1.如果级数的每一项，则称为正项级数2.设正项级数和满足：则（1）若级数收敛，也收敛，（2）若级数收敛，也收敛。这个

4、判别法称为正项级数的比较判别法。例1级数叫作调和级数，试判别其敛散性。解：当时，有（此不等式可用函数的单调性来证明）所以例2讨论级数的敛散性。由比较判别法知解：（1）当时，级数为调和函数，故发散。（2）当时，，因此，发散。（3）当时，将级数改写成：解：（1）因为22121nnn<++，而å¥=121nn是12>=p的p级数，故级数å¥=++1221nnn是收敛的。（2）当0>x时，有)1ln(xx+>，所以，)1ln(nn+>，即nn1)1ln(1>+，而å¥=11nn是发散的，故级数å¥=+1)1ln(1nn发散

5、。（4）因为11122+=+>+nnnnnn，而级数å¥=+111nn是发散的故级数å¥=+121nnn发散。（3）因为而级数是公比为54的等比级数，且收敛的。故级数å¥=-1354nnnn收敛。比较判别法的极限形式：设å¥=1nnu和å¥=1nnv是两个正项级数，若avunnn=¥®lim，+ÎRa，则这两个级数的敛散性相同。å¥=11sinnn例1判别级数的敛散性。解：易知å¥=11sinnn是正弦级数，因为111sinlim=¥®nnn，而å¥=11nn发散，故级数å¥=11sinnn发散。二、比值审敛法例5

6、判断下列级数的敛散性（1）å¥=1nnna(0>a)(2)å¥=1!nnnn(3)å¥=12nnn解：（1）annananauunnnnnnn=+=+=¥®+¥®+¥®1lim1limlim11因为0>a，所以当10<a时级数发散。第三节任意项级数重点：（1）交错级数审敛法（2）绝对收敛与条件收敛难点：绝对收敛与条件收敛一、交错级数例1判断下列级数的敛散性。（1）å¥=-11)1(nnn（2）å¥=--111)1(nnn解：（1）nun1=，111+=+nun显然有1+>nnuu，且0lim=

7、¥®nnu故级数收敛。（2）nun1=，111+=+nun显然有1+>nnuu，且01lim=¥®nn，故级数收敛。二、绝对收敛与条件收敛例2证明级数å¥=--121sin)1(nnnn收敛。证明：因为2211sin)1(nnnn£--，而级数å¥=121nn是2=p时的p级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数å¥=--121sin)1(nnnn收敛，从而级数å¥=--121sin)1(nnnn是绝对收敛的。故级数å¥=--121sin)1(nnnn收敛。例3指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：（1）å¥=--1

8、11)1(nnn（2）å¥=--111)1(nnnn解：（1）级数å¥=--111)1(nnn是交错级数，由交错级数审敛法可知它收敛。而åå¥=¥=-=-11111)1(nnnnn是1=p的p级数，是发散的，故级数å¥=--111)1(nnn条件收敛。（2）级数å¥=--111)1(nnnn的每项取绝对值得级数å¥=11nnn，它是23=p的p级数，是收敛的