实用高等数学课件 教学课件 ppt 作者 盛光进 5定积分及其应用.ppt

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1、定积分的概念与性质5.1微积分基本公式5.2定积分的计算5.3应用与实践5.5目录第五章定积分及其应用广义积分5.4定积分的概念与性质5.1微积分基本公式5.2定积分的计算5.3应用与实践5.5目录第五章定积分及其应用广义积分5.45.1定积分的概念与性质复习导入不定积分定积分概念性质计算应用5.1定积分的概念与性质?我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。规则图形5.1定积分的概念与性质?不规则图形（如图）的面积如何求？?一、两个引例5.1定积分的概念与性质●曲边梯形的面积上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差

2、，即　　　　．我们把这类几何图形定义为曲边梯形．5.1定积分的概念与性质曲边梯形是由连续曲线所围成的平面图形。与三条直线曲边梯形面积如何求？●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）5.1定积分的概念与性质解决步骤：把区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的宽度记为,即(1)分割用分点●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质在第i个小区间上任取一点矩形的面积相应小曲边梯形的面积,即用以为宽，为高的小近似代替(2)近似代替●曲边梯形的面积5.1定积分的概念

3、与性质(4)取极限令,则(3)求和分割越细，近似程度越高，当无限分割时，矩形面积和无限逼近曲边梯形面积。●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质?且设某物体作变速直线运动,已知速度如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？●变速直线运动的路程一、两个引例5.1定积分的概念与性质解决步骤：第i个小区间的长度记为把时间区间[a,b]分成n个小区间(1)分割用分点●变速直线运动的路程5.1定积分的概念与性质(3)求和(2)近似代替(4)取极限,则令●变速直线运动的路程5.1定积分的概念与性质2.变速直线运动的路程1.曲边梯形的面积一、两个引例两个实例尽管实际意义差别很大，但他们的数学本质

4、怎样呢？5.1定积分的概念与性质定义1设函数在区间上有定义，在中插入　　个分点，把区间分成个小区间每个小区间的长度依次为，在每个小区间　　　上任取一点　　　　　，作乘积的和式如果和式的极限存在，则称这个极限值为函数　在　　上的定积分，记作，即定义15.1定积分的概念与性质积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和二、定积分的概念积分分区间____5.1定积分的概念与性质3.规定2.定积分只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即有1.定积分是一个和式的极限，它的结果是一个常数。说明●定积分的几何意义定积分的值等于曲边梯形面积；(1)(2)定积分的值等于曲

5、边梯形面积的负值.5.1定积分的概念与性质●定积分的几何意义5.1定积分的概念与性质若在区间上，有正有负,则等于区间上位于轴上方的图形的面积减去轴下方的图形的面积，如图即有其中分别表示图中所对应的阴影部分的面积．5.1定积分的概念与性质１.答案：2和０．２.答案：利用定积分的几何意义计算1．　　　　　和.２．课堂实训5.1定积分的概念与性质(k为常数)三、定积分的性质推广性质1性质2不论　　相对位置如何，上式均成立．5.1定积分的概念与性质(积分区间可加性)性质35.1定积分的概念与性质性质4在区间上最小值和最大值,则上在区间如果分别是和三、定积分的性质性质4性质55.1定积分

6、的概念与性质(积分中值定理)如果函数使得至少存在一点上上连续，则在区间在闭区间通常称上的平均值。在为函数当　　时,由曲线,直线所围成的曲边梯形的面积，等于以区间为底、以该区间上某一点处的函数值为高的矩形的面积.性质65.2微积分基本公式一、变上限定积分设函数　　　定义在上，x为区间上的任意一点,定积分表示的是图中阴影部分的面积．随着积分上限x在区间内变化，定积分都有惟一确定的值与之相对应,故它是x的函数，称它为积分上限函数，记作　　，即5.2微积分基本公式上定理表明，　是连续函数　的一个原函数，它揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.如果函数　　在区间　　上连续，则函数在区

7、间　　上可导，且它的导数就是　　，即定理15.2微积分基本公式【解】根据定理1，可得设　　　　　　　　，求例1设　　　　　　，求例2公式【解】5.1定积分的概念与性质为方便计算，公式中的　　　　　通常记为．因此上述公式可写成二、牛顿-莱布尼茨公式如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则定理2定积分的值等于被积函数的一个原函数在积分上、下限处的函数值之差。5.2微积分基本公式所以，由牛顿——莱布尼茨公式有求定积分例3【解】因为，5.2微积分基本公式求定积分例4【解】【思考】定积分的计算与定积