空间中平面及直线的方程课件.ppt

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1、①1.平面的方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故5-3空间中平面与直线的方程平面的点法式方程（1）可以化成例1已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：即补例求过三点即解取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方程例2已知一平面的方程为解于是平面的一般方程由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来,可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0

2、的图形总是一个平面.方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为n=(A,B,C).例如,方程3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量.例3将平面的一般式方程3x+4y+6z=1化成点法式方程.解先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有平面的三点式方程已知不在同一直线上的三点与不共线,即以作为所求平面的法向量.设是平面上任一点,显然垂直于此混合积的坐标形式为:例4设已知三点求过该三点的平面方程.解所求的平面方程是特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=

3、0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程补例求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.平面的截距式方程同理求得平面的截距式方程为例6x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是该平面在第一卦限内的部分如图.xyzo两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,

4、B2,C2),那么平面1和2的夹角应满足两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是A1A2+B1B2+C1C2=0.两平面垂直的条件两平面平行的条件平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是A1:A2=B1:B2=C1:C2.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:例8试决定常数与使得平面解两平面垂直要求其向量垂直，即有因此有补例一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

5、求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且2.空间直线方程因此其一般式方程一般式方程直线可视为两平面交线，机动目录上页下页返回结束例9联立方程表示平行于yoz坐标面的平面表示平行于xoz坐标面的平面的解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它平行于z轴.xyzo34代表平面y=5x+1与平面y=x-3的交线.例10联立方程求通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线的方程.(x-x0,y-y0,z-z0)//s,从而有这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程或标准方程.则从M0到M的向量

6、平行于方向向量:设M(x,y,z)为直线上的任一点,如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量.方向向量对称式方程通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线方程:说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.直线方程为例如,当直线方程为此方程组就是直线的参数方程.参数式方程:例11将一般方程解先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.化成标准方程及参数方程.故所给直线的标准方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.两直线的夹角两直线的方向向量的夹

7、角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.设直线L1和L2的方向向量分别为s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2的夹角j满足两直线垂直与平行的条件设有两直线L1L2m1m2+n1n2+p1p2=0;则方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:提示：直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为90.设直线的方向向量为s=(m,n,p),平面的法线向量为n=(A,B,C),则直线与平面的夹角j满足方向向量为(m,n