《平面及直线方程》PPT课件

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1、高等数学北京工商大学杨益民8/4/20211定义：垂直于平面π的非零向量，称为该平面的法向量。已知平面π上一点及它的法向量一、平面方程的各种形式第五节平面及其方程1.点法式方程求平面π的方程。平面的点法式方程。π8/4/202122.三点式方程已知平面π上三点求平面π的方程。解M1、M2、M3三点共面设M(x,y,z)是平面π上任意一点πM1MM2M38/4/202133.截距式方程已知平面π与三个坐标轴的交点A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)求平面π的方程。4.平面的一般方程任意一张平面总可以用平面上一点及它的法向量表示，即平面的一般方程平面π的法向量8/4/20214

2、平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面平行于x轴；平面平行于xoy坐标面；平面过x轴；注：平面的一般方程中只有三个独立的常数，即：三个条件确定一张平面。例如：（1）三个点；（2）一点加一方向；（3）其它形式三个条件8/4/20215则：化简得所求平面方程为解解8/4/20216因为平面过原点，设所求平面方程为所求平面方程为:解∵平面过点(6,-3,2),8/4/20217例4试求过A(4,1,2)、B(-3,5,-1)且垂直于平面π1的平面方程。解：法1：再用点法式方程法2：由三个条件代入一般方程，解方程组确定A、B、C、D法3：再用点法式方程法4：设所求平面上一点M(x,y,

3、z)，则MA、AB、n1共面8/4/20218定义（通常取锐角）两平面的法向量之间的夹角称为两平面的夹角。二、两平面的夹角8/4/20219则两向量夹角余弦公式：两平面夹角余弦公式两平面位置特征：(3)Π1与Π2重合(1)Π1与Π2垂直(2)Π1与Π2平行8/4/202110例5研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角（1）（2）平行（3）垂直8/4/202111解三、空间一点到平面的距离点到平面距离公式8/4/202112注：空间直线的一般方程不唯一一、空间直线方程的各种形式第六节空间直线及其方程1.空间直线的一般方程2.空间直线的对称式方程（点向式方程）定义：平行于一条已知直

4、线L的非零向量，称为这条直线L的方向向量。8/4/202113若已知直线L的方向向量及直线上一点则此直线的方程为：直线的对称式方程注：（1）直线的方向向量的坐标m、n、p称为直线L的一组方向数。（2）在直线L的对称式方程中方向数不唯一。（3）对称式方程中，若有方向数为零，应作如下理解：8/4/2021143.空间直线的参数方程令直线的参数方程4.空间直线的两点式方程直线的两点式方程8/4/202115注：直线的四种方程本质上都是由两个平面方程联立得到，四种方程之间可以相互转化。例1将下面直线的一般方程化为对称式方程、参数方程及两点式方程。例2一直线过点A(2,-3,4)，且和y轴垂直相交，

5、求其方程。解所以交点为B(0,-3,0)因为直线与y轴垂直相交，由两点式写出方程。8/4/202116