空间中平面及直线的方程

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1、如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量.法向量平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.当平面上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量=(A,B,C)为已知时,平面的位置就完全确定了.唯一确定平面的条件1.平面的方程5-3空间中平面与直线的方程设M(x,y,z)是平面上的任一点,则有因为n=(A,B,C),平面的点法式方程已知M0(x0,y0,z0)为平面上一点,n=(A,B,C)为平面的一个法(线)向量.所以A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.这就是平面的方程,称为点法式方程.(x-2)-2(y

2、+3)+3z=0,即x-2y+3z-8=0.解根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为过点且法线向量为的平面的方程为平面的点法式方程例1求过点(2,-3,0)且以=(1,-2,3)为法线向量的平面的方程.例2求过三点M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面的方程.解根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即14x+9y-z-15=0.过点且法线向量为的平面的方程为平面的点法式方程作为平面的法线向量.我们可以用提示：例3设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D

3、=0外一点,求P0到这平面的距离.解在平面上任取一点P1(x1y1z1)则P0到这平面的距离为设是平面的单位法线向量.例4求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离.点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距离:解由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来,可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为例如,方程3x-4y+z-9=0表示

4、一个平面,平面的一个法线向量为平面的一般式方程平面的三点式方程已知不在同一直线上的三点与不共线,即以作为所求平面的法向量.设是平面上任一点,显然垂直于此混合积的坐标形式为:例5设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c),求此平面的方程(a0,b0,c0).将其代入所设方程,得解因为点P、Q、R都在这平面上所以它们的坐标都满足所设方程即有aAD0bBD0cCD0设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D0.上述方程叫做平面的截距式方程,而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的

5、截距.平面方程By＋Cz+D=0Ax+Cz+D=0Ax+By+D=0Cz+D=0Ax+D=0By+D=0法线向量法线向量垂直于平面平行于x轴y轴z轴xOy平面yOz平面zOx平面n(0,B,C)n(A,0,C)n(A,B,0)n(0,0,C)n(A,0,0)n(0,B,0)x轴y轴z轴x轴和y轴y轴和z轴x轴和z轴讨论：1.填写下表:D0,平面过原点.2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点？平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为=(A,B,C).提示：平面通过x轴,表明A=0(它的法线向量垂直于x轴)且D=0(它通

6、过原点).可设此平面的方程为By+Cz=0.又因为此平面通过点(4,-3,-1),所以有-3B-C=0.将C=-3B代入所设方程,得By-3Bz=0.于是所求的平面方程为y-3z=0.例6求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程.解平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为=(A,B,C).两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面1和2的夹角应满足两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.例7求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹

7、角.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1).因为解平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是A1A2+B1B2+C1C2=0.两平面垂直的条件两平面平行的条件平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是A1:A2=B1:B2=C1:C2.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:例8一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,

8、1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.设所求平面的法线向量为n=(A,B,C).因为M1和M2在所求平面上,所以nn1,即-A-2C0