哈工大概率论与数理统计-随机变量及其分布课件.ppt

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1、随机变量及其分布第三章第一讲随机变量的概念一、随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份哈尔滨的最高温度；每天从哈尔滨下火车的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例如：掷一个质地均匀的硬币，用X表示试验结果任意事件A都可由随机变量X表示，如正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号

2、码一样，二者建立了一种对应关系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.称这种定义在样本空间上的实值函数为随量机变简记为r.v.随机变量定义：设E是随机试验，它的样本空间是S，如果对S中的每个基本事件e，都有唯一的实数值X（e）与之对应，则称

3、X（e）为随机变量，简记为X。特点：1．随机变量X是基本事件e的函数，其定义域为S，值域为某个实数集合。2．随机变量X取某个值或某些值表示事件。而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5

4、义了.一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就得到X的一个具体的值，记作x.有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.随机变量概念的产生是概率论发展

5、史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律三、随机变量的分类通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连

6、续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法.分析例1一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当0.15X<1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}解：第二讲离散型随机变量若随机变量X只能取有限个值或可列无穷多个值，则称X为离散型随机变量。设X的所有可能取值为为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X

7、的取值，而且还应知道X取每个值的概率.一、离散型随机变量概率分布列的定义一般地，我们给出如下定义:其中(k=1,2,…)满足：k=1,2,…（1）（2）定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称k=1,2,……为离散型随机变量X的概率分布列简称分布列,又称分布律.用这两条性质判断一个函数是否是分布列分布列的表示方法（1）公式法：（2）列表法：k=1,2,……Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…或X~这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机

8、变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1且表示方法（1）列表法：（2）图示法（3）公式法再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,20.10.30.6kPK012X012P依据概率分布列的性质:P(X=k)≥0,a≥0从中解得欲使上述函数为分布列应有这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率分布列为：k=0,1,2,…,试确定常数a.解:例3.某篮球运动