概率论与数理统计-2.1随机变量及其分布

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1、1第二章随机变量及其分布§2.1离散型随机变量及其分布§2.2连续型随机变量及其分布§2.3随机变量函数的分布2为了进一步深入研究随机现象,在这一章里我们将引入随机变量的概念.由于随机变量概念的引入，我们可利用微积分知识，更全面更深刻地揭示随机现象的内在规律。在第一章里，我们讨论了随机事件及其概率，其中随机事件都是用定性的语言描述的，与数学最基本的研究对象——数及变量尚未建立直接联系。3在许多带有随机因素的实际问题中，我们往往只关心某些数据，如电子元件的寿命、车站的候车人数等等.此外人们还发现建立数和人或其他事物的对应关系会带来许多便利，比如每一个学生可以用一个学号与之对应，城市

2、的每一间房屋可以用一个门牌号与之对应，工厂生产的同一种型号产品（如计算机可以用一个代码与之对应）.同样，建立数和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的一些数学方法对随机现象作进一步的研究.4§2.1离散型随机变量及其分布1.随机变量2.离散型随机变量3.两点分布4.二项分布5.泊松分布6.随机变量的分布函数51.随机变量在许多随机试验中，除试验结果之外，往往有另一个量与每个结果相关联。如赌博时投掷硬币，人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了多少钱；再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起来。这样，就自然建立了一个对应关系。6有些试验

3、结果本身与数值有关：（1）掷一颗骰子面上出现的点数；（4）七月份济南的最高温度；（2）每天到北京下火车的人数；（3）昆虫的产卵数；7例盒中有3个黑球和2个白球，从中随机抽取3个，考虑取得的白球数。抽取的白球数有三个可能结果：0，1或2，对于不同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一个变量ξ，用ξ表示“抽取的白球数”，该变量的不同取值表达不同的随机事件，如（ξ=0）表示“抽取的3个球中无白球”；（ξ=1）表示“抽取的3个球中有1个白球”；（ξ≤2）表示“抽取的3个球中至多有2个白球”。8在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验

4、结果数值化.例:抛掷一枚硬币，观察其出现正面与反面的情况，则其有二个可能结果：出现正面H或出现反面T，其样本空间为Ω={H,T}.这样我们就将试验结果与实数对应起来了.若我们在样本空间上定义一个函数:9通常，我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.引入随机变量后，就可以用随机变量X描述事件定义:设随机试验E的样本空间，如果对每一个样本点，都有唯一实数与之对应，则称为样本空间上的随机变量.10例在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命，那么灯泡的寿命ξ(小时)是一个随机变量，显然ξ的一切可能取的值是非负实数值，即ξ∈[0,+∞)而(ξ=1200)，(ξ≤5000)，(ξ>1500)等都

5、是随机事件。11由此可知，随机试验的结果可以用变量来表示，但这种“变量”与微积分中的“变量”是有区别的.它有两个特点：⑴取值的随机性，也就是说ξ取哪一个值，在抽样前无法确定；⑵取值的统计规律性，也就是ξ取这些值的概率是确定的。12※随机变量的两个主要问题：①研究随机变量可能取哪些值；②研究随机变量取这些值的概率各是多少。13用随机变量表示事件若X是实验E的一个随机变量，那么{x=1},{X

6、为：　｛X=2}{X=4}{X=6}“出现的点数小于４”可表示为：｛X<4｝或｛X3｝14随机变量的分类如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量有有限或可列无穷多个所有取值，可以逐个一一列举如“电视机的寿命”、实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.15定义2.2设离散型随机变量X的所有可能的不同取的值为而X取值的概率为pk，即则称(2.1.1)为离散型随机变量X的概率分布或分布律2.离散型随机变量16把X可能取的值及相应的概率列成表，如表2.1.1所示，称表为X的概率分布表，或称为分

7、布列Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…17随机变量的分布律是指随机变量所有可能的取值与取这些值的概率之间的一种对应关系。这种对应关系可用解析式（2.1.1）和分布列表示，还可用图示法表示（图2.1.1）18对于离散型随机变量，概率分布中的pk必须满足下列两个性质：反过来，满足上式的数pk也一定可作为离散型随机变量的概率分布。19例2.1.1设有10件产品，其中正品6件，次品4件，从中任取3件产品，用X表示从中取出的次品数，求其分布律.解：X表示3件产品中的次品数，则X可能取的值