向量法证明： 空间中角与距离的计算课件.ppt

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1、向量法：空间中角的计算思考:1.2题型一、　利用向量求线线角、线面角返回[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)3.(2011·浙江高考)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．[巧练模拟]———————(

2、课堂突破保分题，分分必保！)[解](1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC.因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA.[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)4.(2012·温州模拟)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N.(1

3、)求证：SB∥平面ACM；(2)求二面角D－AC－M的平面角的正切值；考点1线面所成角的计算例1：如图13－7－2，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．图13－7－2图D32【互动探究】1．(2010年全国)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()答案：D考点2面面所成角的计算例2：(2011年全国)如

4、图13－7－3，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形,∠DAB＝60°,AB＝2AD,PD⊥底面ABCD.图13－7－3(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．图D33求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角大小【互动探究】2．(2011年江苏)如图13－7－4，在正四棱柱ABCD－A1

5、B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二图13－7－4面角A1－DN－M的大小为θ.(1)当θ＝90°时，求AM的长；考点3立体几何中的综合问题例3：如图13－7－5，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离．图13－7－5图13－7－6解析：方法一：如图13－7－6，作AD⊥BC交BC延长线于D，连接SD.∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC⊂平面

6、SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.过点A作AH⊥SD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH⊥平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离．方法三：如图13－7－7，以A为坐标原点，以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面直线为x轴建立空间直角坐标系．图13－7－7求点到平面的距离通常有以下方法：(1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的距离；(2)间接法，包括等体积法和转化法；(3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向量方

7、向上的射影长，此射影长即为所求点面距．【互动探究】3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图13－7－8所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10.图13－7－8(1)求棱A1A的长；(2)求点D到平面A1BC1的距离．考点4求二面角例4：如图13－7－9，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积为8π，∠AOP＝120°.(1)求证：AG⊥B

8、D；(2)求二面角P－AG－B的平面角的余弦值．图13－7－9图13－7－10本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及平面几何的圆等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．1．利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典