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1、空间中的角与距离立体几何专题复习之二空间中的角αabαbαβmb’aABP00<θ≤90000≤θ≤90000≤θ≤1800三种角的定义两异面直线所成角直线与平面所成角二面角空间角的计算步骤：一作、二证、三算空间中的角解法小结1、异面直线所成角的方法（1）平移法（2）补形法2、直线与平面所成角的方法关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内的射影。当二面角的棱已知时：（1）定义法(2)垂面法（3）三垂线定理法寻找平行平面，将问题转化3、二面角找二面角的棱,进而找棱的两条垂线当二面角的棱未知时：利用射影面积公式S′=
2、Scosθ［例］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.(1)求证：四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形.∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形∴A′G∥FD，∴B′、
3、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形.(1)求证：四边形B′EDF是菱形(2)求直线A′C与DE所成的角(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如图所示.又∵B′EDF为菱形，∴
4、DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos.(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中，sin∠OMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin作OH⊥平面ABCD，则H为正方形
5、ABCD的中心，1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()A.B.C.D.ABDCA1B1D1C1OMPABDCA1B1D1C1OME2.已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的大小为_________.CABOarccos-3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=
6、BC=1，AD=1/2，则面SBA与面SCD所成的二面角的大小是。sABCDsABCDEMNEFGP如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM＝EF(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2)若PA=3AB,求二面角E—AB—D平面角的正弦值.(3)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.PABCDEFM（1）证明：因PA⊥底面,有PA⊥AB,又知AB⊥AD,故AB⊥面PAD,推得BA⊥AE,又AM∥CD∥EF,且AM=EF,证得AEFM是矩
7、形,故AM⊥MF.又因AE⊥PD,AE⊥CD,故AE⊥面PCD,而MF∥AE,得MF⊥面PCD,故MF⊥PC,因此MF是AB与PC的公垂线.PABCDEFMPABCDEFM（2）由（1）知AE⊥AB,又AD⊥AB,故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角.设AB=a,则PA=3a.因Rt△ADE~Rt△PDA,故∠EAD=∠APD因此PABCDEFM(3)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.(3)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.PABCDEFM解：连结BD交AC于O,连
8、结BE,过O作BE的垂线OH,垂足H在BE上.易知PD⊥面MAE,故DE⊥BE,又OH⊥BE,故OH//DE,因此OH⊥面MAE.连结AH,则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角,设AB=a,则PA=3a,因Rt△ADE~Rt△PDA,故OH空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线
