新高三一轮复习数学（文）北师大版衔接教材·假期作业21 坐标系与参数方程（解析版）.docx

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1、考点21坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy中，圆C1的方程为（x﹣2）2+y2＝4．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=62cos2θ+1．（1）求C1与C2的交点的极坐标；（2）设MN是C1的一条直径，且MN不在x轴上，直线OM交C2于A，C两点，直线ON交C2于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值．【解析】解法一：（1）圆C1的方程化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，联立C2的极坐标方程得：ρ2=62cos2θ+1=16cos2θ，由题意易得cosθ≥0，解得cos2θ=1

2、4或cos2θ=-34（舍去），所以cosθ=12或cosθ=-12（舍去），所以θ=π3，ρ＝2或θ=5π3，ρ＝2，所以C1与C2的交点的极坐标为(2，π3)或(2，5π3)．（2）如图，因为MN是C1的一条直径，且C1过原点O，所以OM⊥ON，即AC⊥BD，不妨设点A在第一象限，设A（ρ1，θ），θ∈(0，π2)，则D(ρ2，θ+π2)，[来源:学科网]由对称性知SABCD＝4S△OAD=4×12⋅

3、OA

4、⋅

5、OD

6、=2ρ1ρ2，所以，SABCD2=4ρ12ρ22=4⋅62cos2θ+1⋅62cos2(θ+π2)+1=

7、144(2cos2θ+1)(2sin2θ+1)=144sin22θ+3≥1444=36，当且仅当2θ=π2，即θ=π4时等号成立，所以SABCD≥6，所以四边形ABCD的面积的最小值为6．解法二：（1）曲线C2的方程化为直角坐标方程为x22+y26=1，即y2＝6﹣3x2，联立C1的直角坐标方程得：（x﹣2）2+6﹣3x2＝4，解得x＝1或x＝﹣3（舍去），所以C1与C2的交点的直角坐标为(1，±3)，化为极坐标为(2，π3)或(2，5π3)，所以C1与C2的交点的极坐标为(2，π3)或(2，5π3)．（2）如图，因为MN是

8、C1的一条直径，且C1过原点O，所以OM⊥ON，即AC⊥BD，不妨设直线AC的方程为：y＝kx（k≠0），则直线BD的方程为：y=-1kx，把y＝kx代入C2的方程得：xA2=6k2+3，所以

9、OA

10、=1+k2⋅6k2+3=6(1+k2)k2+3，把k换成-1k得：

11、OD

12、═6(1+1k2)1k2+3=6(k2+1)1+3k2，由对称性知SABCD＝4S△OAD＝2•

13、OA

14、•

15、OD

16、，所以SABCD=26(1+k2)k2+3⋅6(1+k2)1+3k2=12(1+k2)2(k2+3)(1+3k2)，≥12(1+k2)2(k2

17、+3+1+3k22)2=6，当且仅当k2+3＝1+3k2，即k＝±1时等号成立，所以四边形ABCD的面积的最小值为6．2．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ＝0，曲线C2的参数方程为x=cosφy=1+sinφ，（φ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及C2的普通方程；（2）已知点P、Q为曲线C1与曲线C2的交点，W为参数方程x=3cosαy=4sinα（α为参数）曲线C3上一点，求点W到直线PQ的距离d的最大值

18、．【解析】（1）曲线C1：ρsin2θ﹣cosθ＝0，所以ρ2sin2θ﹣ρcosθ＝0；所以y2＝x．曲线C2：x=cosϕy=1+sinϕ（φ为参数），则x2+（y﹣1）2＝cos2φ+sin2φ，所以x2+（y﹣1）2＝1．综上，曲线C1的直角坐标方程为y2＝x，C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1．（2）根据y2=xx2+(y-1)2=1则y4+y2﹣2y＝0，解得，P（1，1），Q（0，0），又因为kPQ=1-01-0=1，所以直线PQ的方程为y＝x，设W（3cosα，4sinα），[来源:学+科+网]所以d=

19、

20、3cosα-4sinα

21、2=

22、5sin(β-α)

23、2≤522（tanβ=34，0＜β＜π2）．即点W到直线PQ的距离d的最大值为522．3．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=t-2y=t2-2t（t为参数），曲线C上异于原点的两点M，N所对应的参数分别为t1，t2．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝2asinθ．（1）当t1＝1，t2＝3时，直线MN平分曲线D，求a的值；（2）当a＝1时，若t1+t2＝2+3，直线MN被曲线D截得的弦长为3，求直线MN的方程．【解析】（1）

24、由于t1＝1，t2＝3时，所以M（﹣1，﹣1），N（1，3）所以直线MN的方程为y＝2x+1．曲线D的方程为x2+（y﹣a）2＝a2．由于直线MN平分曲线D，所以直线MN过点（0，a）．所以：a＝1．（2）由题意知：kMN=y1-y2x1-x2=(t12-2t1)-(t22-2t2)(t1