2020年新高三一轮复习数学（理）人教版衔接教材·假期作业考点12 空间向量与立体几何-（解析版）.docx

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1、考点12空间向量与立体几何一、选择题1．在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为过点作平面的垂线，垂足为，所以可得两点的横坐标与竖坐标相同，只纵坐标不同，且在平面中所有点的纵坐标都是0，因为，所以有.故选C2．已知，，若，则等于（）A．-26B．-10C．2D．10【答案】A【解析】根据题意，由于，，且有，则可知，故选A.3．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）A．B．C．D．【答案

2、】C【解析】依题意，所以.故选C.4．若向量，，则（）A．B．C．3D．【答案】D【解析】由于向量，，所以.故故选D.5．已知向量，满足，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.故选B二、填空题6．在空间直角坐标系中，设点是点关于坐标平面的对称点，点关于轴对称点，则线段的长度等于__________．【答案】【解析】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以，又因为点关于轴对称点，所以.因此.故填7．设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是_______.【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系，则

3、，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，，令，则，∴点到平面的距离.故填.8．如图所示，长方体中，，，点E是线段的中点，点F是正方形的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______.【答案】【解析】作出图形如下所示，以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，故，，，，则，，故直线与直线所成角的余弦值为.故填三、解答题9．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．【解析】（1）两直线垂直，

4、证明：由于为坐标原点，所以，由得：，因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直，理由：由（1）中各点坐标得：，，与不垂直，所以直线与直线不垂直.10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（）求与平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．【解析】（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，，即，，两两垂直，∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，，得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故与平面所成角的正弦值

5、为．（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故二面角的余弦值为．一、选择题11．在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】解:以A点为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1，0，0)，C(1，1，O)，D(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1

6、，1)，(0，1，1)，设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得=0，故异面直线与所的角是定值，故①正确；三棱锥的底面面积为定值，且∥，点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故②正确；可得=(t，1，-t)，=(0，1，-1)，=(-1，1，0)，可得平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值，故③错误；故选B.12．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所

7、示：分别以为轴建立空间直角坐标系.故，，，，故，.，即与夹角的余弦值为.故选B.二、填空题13．已知三校锥的四个顶点在球的球面上，平面，是边长为的正三角形，、、分别是、、的中点，且，则球的表面积为_________.【答案】【解析】如图，根据题意，以A为原点，为轴方向，为轴方向，为轴方向，建立空间直角坐标系，设，由，可得，，，，因为、、分别是、、的中点，得，，，可得，，，，解得，解得，根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心和的外接圆圆心，且必有，且为的外接圆的半径，因为是边长为的正三角形，且，设外接球

8、半径，则在中，根据勾股定理，得，则可求得，则球的表面积为故填14．如图，在四面体中，，.若为线段上的动点（不包含端点），则二面角的余弦值取值范围是__________．【答案】【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，则，令，所以平面的一个法向量为，所以，因为，所以，所以，所以，即二面角的余弦值的取值范围是.三、解答题15．如图，三棱柱中，D是的中点.（1）证明