新高三一轮复习数学（理）北师大版衔接教材·假期作业考点06 导数的应用（解析版）.docx

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1、考点06导数的应用1．若函数f（x）=x2+x+ax在(12，+∞)上是增函数，则a的取值范围（　　）A．(-∞，12)B．(12，+∞)C．[12，+∞)D．(-∞，12]【答案】D【解析】根据题意，函数f（x）=x2+x+ax，其导数f′（x）=2x+1-ax2=2x3+x2-ax2，若函数f（x）=x2+x+ax在(12，+∞)上是增函数，则f′（x）=2x3+x2-ax2≥0在（12，+∞）上恒成立，设g（x）=2x3+x2﹣a，则有g（x）=2x3+x2﹣a≥0在（12，+∞）上恒成立，而g′（x

2、）=6x2+2x，在（12，+∞）上，有g′（x）>0恒成立，即函数g（x）在（12，+∞）上为增函数，若g（x）=2x3+x2﹣a≥0在（12，+∞）上恒成立，必有g（12）≥0，即2×（12）3+（12）2﹣a=12-a≥0恒成立，则a≤12，即a的取值范围为（﹣∞，12]；故选D．[来源:Zxxk.Com]2．已知函数f(x)=exx-t(lnx+2x+3x)仅有一个极值点1，则实数t的取值范围是（　　）A．(-∞，13]∪{e3}B．(-∞，13]C．(-∞，12]∪{e3}D．(-∞，12]【答案

3、】B【解析】由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'(x)=(x-1)exx2-t(1x+2-3x2)=(x-1)(2x+3)(ex2x+3-t)x2，因为函数恰有一个极值点1，所以ex2x+3-t=0无解，令g(x)=ex2x+3(x>0)，则g'(x)=ex(2x+1)(2x+3)2>0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而g(x)>g(0)=13，所以t≤13时，ex2x+3-t=0无解，f(x)=exx-t(lnx+2x+3x)仅有一个极值点1，所以t取值范围是(-∞，13]．故选B．

4、3．函数f(x)=13x3-12(a+2)x2+x（a>0）在（e，+∞）内有极值，那么下列结论正确的是（　　）A．当a∈(0，e+1e-2)时，ea﹣1>ae﹣1B．当a∈(e+1e-2，e2)时，ea﹣1ae﹣1D．当a∈(e，e+1e)时，ea﹣10），则△=（a+2）2﹣4>0，若f（x）在（e，+∞）内仅有一个极值点，即g（x）在（e，+∞）内有一个零点，则a>0g(e)=

5、e2-(a+2)e+1<0，解得a>e+1e-2；若f（x）在（e，+∞）内仅有两个极值点，即g（x）在（e，+∞）内有两个零点，则a>0g(e)=e2-(a+2)e+1>0a+22>e，无解，∴当a>e+1e-2时，函数f（x）在（e，+∞）内有极值，[来源:学.科.网Z.X.X.K]现考查不等式ea﹣1e+1e-2，则h'(a)=1-e-1a，令h′（a）>0，解得a>e﹣

6、1，∴函数h（a）在(e+1e-2，e-1)上单调递减，在（e﹣1，+∞）上单调递增，又h(e+1e-2)=e+1e-3-(e-1)ln(e+1e-2)﹣f（x），若对于∀x>0，不等式xf（lnx）﹣eaxf（ax）≤0恒成立，则实数a的

7、最小值为（　　）A．eB．1eC．e22D．e2【答案】B【解析】根据題意，令F（x）=ex•f（x），则F'（x）=ex[f（x）+f'（x）]>0，故函数F（x）在R上单调递增，F（lnx）=elnxf（lnx）=xf（lnx），F（ax）=eaxf（ax），又∀x>0，不等式xf（lnx）﹣eaxf（ax）≤0恒成立，所以F（lnx）≤F（ax）在（0，+∞）恒成立．从而lnx≤ax，即a≥lnxx在（0，+∞）恒成立．令g(x)=lnxx，g'(x)=1-lnxx2，令g'（x）=0，则x=e，所以

8、g(x)=lnxx在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减．所以g(x)max=g(e)=1e，故a≥1e．则实数a的最小值为1e，故选B．5．函数y=12x﹣x3的单调递增区间为（　　）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，2）D．（2，+∞）【答案】C【解析】函数的导数为f'（x）=12﹣3x2，由f'（x）=12﹣3x2>0，得x2<4，解得﹣2