高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 第67课 课时分层训练11.doc

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1、课时分层训练(十一)A组　基础达标(建议用时：30分钟)1．(2017·如皋市高三调研一)已知函数f(x)＝e3x－6－3x，求函数y＝f(x)的极值．[解]　由f′(x)＝3e3x－6－3＝3(e3x－6－1)＝0，得x＝2.x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以，由上表可知f(x)极小值＝f(2)＝－5，所以f(x)在x＝2处取得极小值－5，无极大值．2．(2017·镇江期中)已知函数f(x)＝e2x－1－2x.(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)证明：当x∈R时，f(x)≥0恒成立.【导学号：62172356】[解]　(1)函数f(x)＝e

2、2x－1－2x，定义域为R，f′(x)＝e2x－1×(2x－1)′－2＝2e2x－1－2.(2)由题意f′(x)＝2e2x－1－2，x∈R，x，f′(x)，f(x)在x∈R上变化如下表：xf′(x)－0＋f(x)极小值当x＝时f(x)取得极小值也是最小值，而f＝0，故f(x)≥0恒成立．3．(2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[解]　(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设，即解得(2)由(

3、1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．4．已知函数f(x)＝x－eax(a＞0)．(1)求函

4、数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值.【导学号：62172357】[解]　(1)f(x)＝x－eax(a＞0)，则f′(x)＝1－aeax，令f′(x)＝1－aeax＝0，则x＝ln.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xlnf′(x)＋0－f(x)极大值故函数f(x)的增区间为；减区间为.(2)当ln≥，即0＜a≤时，f(x)max＝f＝－e2；当＜ln＜，即＜a＜时，f(x)max＝f＝ln－；当ln≤，即a≥时，f(x)max＝f＝－e.B组　能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·如皋市高三调研一)设函数f(x)＝ax＋xeb

5、－x(其中a，b为常数)，函数y＝f(x)在点(2,2e＋2)处的切线的斜率为e－1.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．[解]　(1)因为f′(x)＝a＋eb－x－xeb－x，所以f′(2)＝a－eb－2＝e－1，①且f(2)＝2a＋2eb－2＝2e＋2，②由①②得a＝e，b＝2，所以f(x)＝ex＋xe2－x.(2)f′(x)＝e＋e2－x－xe2－x，由f″(x)＝－e2－x－e2－x＋xe2－x＝e2－x(x－2)＝0，得x＝2.当x变化时，f″(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)f″(x)－0＋f′(x)

6、f′(x)最小值＝e－1>0，即f′(x)>0恒成立．所以f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．2．已知函数f(x)＝(x－k)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．[解]　(1)由f(x)＝(x－k)2e，得f′(x)＝(x2－k2)e，令f′(x)＝0，得x＝±k，若k>0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，－k)－k(－k，k)k(k，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)4k2e－10所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．若k<

7、0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k)k(k，－k)－k(－k，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04k2e－1所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤，解得－≤k<0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围