高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 第66课 课时分层训练10.doc

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1、课时分层训练(十)A组　基础达标(建议用时：30分钟)1．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．[解]　由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，则MA＝AN，且AN＝.∵ON＝3，∴OA＝＝2，∴N(，±2)．∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.2．已知

2、抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．[解]　(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4，因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.设AB的中

3、点为M，则AB＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①又AB＝

4、y1－y2

5、＝.②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.3．(2017·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由

6、.【导学号：62172352】[解]　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，所以RQ是线段FP的垂直平分线．因为

7、PQ

8、是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，所以PQ＝QF.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长TS为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝

9、x0

10、＝x0，圆的半径r＝MA＝，则TS＝2＝2，因为点M在曲线C上，所以x0＝，所以TS＝2＝2，是定值．4．(2017·苏北四市摸底)已知抛物线C：x2

11、＝2py(p＞0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.图663(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．[解]　(1)将点(2,1)代入抛物线C：x2＝2py的方程得，p＝2.所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)．由得x2－4kx＋4＝0.则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝

12、4k.所以kA′B＝＝＝.于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)．所以y＝(x－x2)＋＝x＋1.当x＝0时，y＝1，所以直线A′B过定点(0,1)．B组　能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·泰州模拟)如图664，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．图664(1)求抛物线的方程；(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值.【导学号：62172353】[解]　(1)由已知条件可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．因

13、为点P(2,1)在抛物线上，所以22＝2p·1，解得p＝2，故所求抛物线的方程是x2＝4y.(2)由题知kAP＋kBP＝0，所以＋＝0，所以＋＝0，所以＋＝0，所以x1＋x2＝－4，所以kAB＝＝＝＝－1，所以直线AB的斜率为定值．2．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若＝2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立

14、，消去x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因为＝2，所以y1＝－2y2.联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2×·