高考数学 17-18版 附加题部分 第6章 第75课 课时分层训练19.doc

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1、课时分层训练(十九)A组　基础达标(建议用时：30分钟)1．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得00，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[解]　(1)由

2、＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2·≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.3．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．[解]　∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝18，∴＋＋≥2，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号．∴＋＋的最小值为2.4．(2017·如皋市高三调研一)已知数列{an}满足a1＝3，且an＋1＝a－nan－n(n∈N＋)．(1)计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式(不必证明)；(2

3、)求证：当n≥2时，a≥4nn.【导学号：62172388】[解]　(1)n＝1时，a2＝4；n＝2时，a3＝5，n＝3时，a4＝6；n＝4时，a5＝7；猜想：an＝n＋2.(2)要证a≥4nn(n≥2)成立，只要证(n＋2)n≥4nn(n≥2)，只要证(x＋2)x≥4xx(x≥2)，只要证xln(x＋2)≥ln4＋xlnx(x≥2)，即证xln(x＋2)－ln4－xlnx≥0(x≥2)，f(x)＝xln(x＋2)－ln4－xlnx(x≥2)．f′(x)＝ln(x＋2)＋－lnx－1＝ln＋－1令t＝＝1＋(10，所以y＝lnt＋－1在(

4、1,2]上单调递增，所以y>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(2，＋∞)单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0得证．B组　能力提升(建议用时：15分钟)1．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.[证明]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2

5、)≥2a2bc.①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.2．已知a，b为实数，且a>0，b>0.(1)求证：≥9；(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值.【导学号：62172389】[解]　(1)证明：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3＝3>0，①同理可证：a2＋＋≥3>0.②由①②及不等式的性质得＝3×3＝9.(2)[(5－2a)2＋4b

6、2＋(a－b)2][12＋12＋22]≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2.所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.当且仅当＝＝时取等号，即a＝，b＝.所以当a＝，b＝时，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.3．已知函数f(x)＝2

7、x＋1

8、＋

9、x－2

10、.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.[解]　(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6

11、.综上，f(x)的最小值m＝3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，因为＋＋＋(a＋b＋c)＝＋＋≥2＝2(a＋b＋c)．(当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”)所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.4．已知函数f(x)＝

12、x＋1

13、.(1)求不等式f(x)＜

14、2x＋1

15、－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．[解]　(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x