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时间:2020-08-02
《高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 选修4-1 第70课 课时分层训练14.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时分层训练(十四)A组 基础达标(建议用时:30分钟)1.如图7011,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.图7011求证:△ABD∽△AEB.[证明] 因为AB=AC.所以∠ABD=∠C.又⊙O是三角形ABC的外接圆,所以∠E=∠C,从而∠ABD=∠E.又∠BAE=∠BAD.故△ABD∽△AEB.2.(2017·泰州模拟)如图7012,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC.图7012求证:AC=2AD.【导学号:62172368】[证明] 连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,所以∠ADO=∠ACB=9
2、0°.又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB,所以=.又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.3.如图7013,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,求BE的长.图7013[解] 由切割线定理,得PA2=PC·PD.因此PD===12.又PC=3,所以CD=PD-PC=9.由于CE∶ED=2∶1,因此CE=6,ED=3.由相交弦定理,AE·EB=CE·ED,所以BE===2.4.如图7014,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:图
3、7014(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.【导学号:62172369】[证明] (1)如图所示,因为点M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,则∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ONE=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,点O,M,E,N四点共圆.由割线定理,得FE·FN=FM·FO.B组 能力提升(建议用时:15分钟)1.如图7015,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD.图70
4、15(1)求证:l是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径OA=5,AC=4,求CD的长.[解] (1)证明:连结OP,∵AC⊥l,BD⊥l,∴AC∥BD.又OA=OB,PC=PD,∴OP∥BD,从而OP⊥l.∵点P在⊙O上,∴l是⊙O的切线.(2)由(1)可得OP=(AC+BD),∴BD=2OP-AC=10-4=6.过点A作AE⊥BD,垂足为E,则BE=BD-AC=6-4=2.∴在Rt△ABE中,AE===4,∴CD=4.2.(2016·全国卷Ⅰ)如图7016,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°,以O为圆心,OA为半径作圆.图7016(1)证明:直线AB与⊙O相切;(2)点C,D
5、在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.[证明] (1)设E是AB的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于⊙O的半径,所以直线AB与⊙O相切.(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O′是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O′在线段AB的垂直平分线上,所以OO′⊥AB.同理可证,OO′⊥CD,所以AB∥CD.3.如图7017,圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的
6、延长线上.图7017(1)若EF∥CD,证明:EF2=FA·FB;(2)若EB=3EC,EA=2ED,求的值.[解] (1)证明:因为四边形ABCD内接于圆,所以∠B=∠CDE.又EF∥CD,所以∠CDE=∠FEA,因此,∠B=∠FEA.而∠F为公共角,所以△FAE∽△FEB,于是,=,即EF2=FA·FB.(2)由割线定理,得ED·EA=EC·EB,即ED·2ED=EC·3EC,所以=,即=.因为∠B=∠CDE,∠CED是公共角,所以△ECD∽△EAB,于是,===·=.4.(2016·全国卷Ⅲ)如图7018,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.图7018(1
7、)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.[解] (1)如图,连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为=,所以∠PBA=∠PCB.又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)证明:因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点
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