高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第70课 课时分层训练14.doc

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1、课时分层训练(十四)A组　基础达标(建议用时：30分钟)1．如图7011，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.图7011求证：△ABD∽△AEB.[证明]　因为AB＝AC.所以∠ABD＝∠C.又⊙O是三角形ABC的外接圆，所以∠E＝∠C，从而∠ABD＝∠E.又∠BAE＝∠BAD.故△ABD∽△AEB.2．(2017·泰州模拟)如图7012，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.图7012求证：AC＝2AD.【导学号：62172368】[证明]　连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝9

2、0°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以＝.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．如图7013，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长．图7013[解]　由切割线定理，得PA2＝PC·PD.因此PD＝＝＝12.又PC＝3，所以CD＝PD－PC＝9.由于CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，AE·EB＝CE·ED，所以BE＝＝＝2.4．如图7014，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：图

3、7014(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.【导学号：62172369】[证明]　(1)如图所示，因为点M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，则∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ONE＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，点O，M，E，N四点共圆．由割线定理，得FE·FN＝FM·FO.B组　能力提升(建议用时：15分钟)1．如图7015，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD.图70

4、15(1)求证：l是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．[解]　(1)证明：连结OP，∵AC⊥l，BD⊥l，∴AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，∴OP∥BD，从而OP⊥l.∵点P在⊙O上，∴l是⊙O的切线．(2)由(1)可得OP＝(AC＋BD)，∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6.过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE＝BD－AC＝6－4＝2.∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，∴CD＝4.2．(2016·全国卷Ⅰ)如图7016，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径作圆．图7016(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D

5、在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.[证明]　(1)设E是AB的中点，连结OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.3．如图7017，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的

6、延长线上．图7017(1)若EF∥CD，证明：EF2＝FA·FB；(2)若EB＝3EC，EA＝2ED，求的值．[解]　(1)证明：因为四边形ABCD内接于圆，所以∠B＝∠CDE.又EF∥CD，所以∠CDE＝∠FEA，因此，∠B＝∠FEA.而∠F为公共角，所以△FAE∽△FEB，于是，＝，即EF2＝FA·FB.(2)由割线定理，得ED·EA＝EC·EB，即ED·2ED＝EC·3EC，所以＝，即＝.因为∠B＝∠CDE，∠CED是公共角，所以△ECD∽△EAB，于是，＝＝＝·＝.4．(2016·全国卷Ⅲ)如图7018，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．图7018(1

7、)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.[解]　(1)如图，连结PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点