高考数学专题复习教案： 正弦定理和余弦定理备考策略.doc

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1、正弦定理和余弦定理备考策略主标题：正弦定理和余弦定理备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：正弦定理，余弦定理，备考策略难度：3重要程度：5考点一　利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC＝______.解析　(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝si

2、nB，∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0.∴sinA＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈，∴A＝.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8×＝25，即b＝5.所以sinC＝＝＝.答案　(1)A　(2)【备考策略】已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．考点二　判断三角形的形状【例2】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB

3、＋sinC＝，试判断△ABC的形状．解　(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝.∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1.∵0°

4、C为等边三角形．【备考策略】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．考点三　与三角形面积有关的问题【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．审题路线　(1)a＝bcosC＋csinBsinA＝…⇒sin(B＋C)＝…⇒求出角B.(2)由⇒得出a2与c2的关系式⇒利用基本

5、不等式求ac的最大值即可．解　(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.【备考策略】在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边又

6、有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.