高考数学备考训练正弦定理和余弦定理应用举例.doc

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1、2013高考数学备考训练-正弦定理和余弦定理应用举例一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　)A．α>β　　　　　　　　　B．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案　B2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　)A．c和aB．c和bC．c和βD．b和α答案　D3．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为(　　)A．10kmB.kmC．10kmD．10km答案　D解析　AC

2、＝＝＝10(km)．4．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)(　　)A．180米B．214米C．242米D．266米答案　C解析　∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，＝，∴BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝＝242.5．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)A.mB.mC.mD.m答案　A解析　在Rt△BAC中∠ABC＝30°，AB＝200

3、，∴BC＝＝，∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°，在△BDC中，＝，∴DC＝＝＝(m)．6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．(　　)A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案　C解析　由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.二、填空题7．(2010·潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A

4、船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.答案　－1解析　如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝－1.8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半

5、径为________米．答案　17500解析　连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理得：OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．(2011·沧州七校联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案　0.6解析　在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30

6、°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝＝20；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30(米)．所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．三、解答题10．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解析　(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°，由正弦定理得＝，即AD＝＝＝24(nmile)．(2)在△ACD中，∵AC＝8，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－

7、2AD·ACcos∠CAD＝242＋(8)2－2×24×8cos30°＝192.即CD＝8≈14(nmile)．因此A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离约为14nmile.11.如图，港口B在港口O正东方120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资