专题 正弦定理和余弦定理

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1、姓名年级性别课题正弦定理和余弦定理教学目的1.正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．教学重难点1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．教学过程(内容可附后)学大教育个性化教学学案1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin

2、_C；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解[难点正本　疑点清源]1．在三角形中，

3、大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．题型一　利用正弦定理解三角形例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解　由正弦定理得＝，＝，∴sinA＝.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A

4、＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.探究提高　(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________．题型二　利用余弦定理求解三角形例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．思维启迪：由＝－，利用余弦定理

5、转化为边的关系求解．解　(1)由余弦定理知：cosB＝，cosC＝.将上式代入＝－得：·＝－，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝＝＝－.∵0

6、分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．题型三　正弦定理、余弦定理的综合应用例3　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.解　(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以sin

7、AsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin＝.又0

8、中，若(a2＋b2)si