正弦定理和余弦定理专题总结

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1、正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的主要工具，一、解三角形(一)已知三边例1、在AABC中，a=1,b=c=则B=方法小结：已知三边用余弦定理。(二)已知两边(一角)1、已知边边角例2、在AABC中，分別根据下列条件求解:(Da=y[2,b=V3，A=45°,则B=⑵a=V2,b=1,A=45°,则1>⑶a=V2,b=2,A=45°,则B=(4)a=V2,b=V2,A=45°,则B=⑸a=V2,b=V6,A=45°,则B=方法小结：已知对象和所求对象为“两角两边”，且都是“对角对边”时，用正弦定理。规律总结：(l)sinB>1,即asinA>b时，B

2、不存在；(2)sinB=1,即asinA=b时,有唯一解B=90°；(3)sinB<1,即asinAa,则B>A,有两解；②若bva,则Bl；(2)两解:sinB<1b>a③若b=a>则B=A,有一解。⑶一解：sinB=1或jSmB<1b

3、2、已知边角边例5、在厶ABC中，a=2,b=2^2,C=15°,求A。思路分析：要求角A,门A「法（一）用正弦定理——=——，需要先求得C,而CHJ由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC求得；ac222法（二）用余弦定理cosA=匚汙，需要先求得c,同上由宀屏+」2咲sC求得。方法小结：已知“边角边”，只能用余弦定理，先求得另一边，然后可求另二角。（三）已知一边（两角）例6、在厶ABC中，c=10,A=45°,C=30°,解三角形。方法小结：已知一边（两角），先用内也和定理求得最后一许J,再用正弦定理求得另两边。（四）综合1、如图，在AABC中，D是边AC±的点

4、，且AB=AD,2AB=J^BD,BO2BD,则sinC的值为（题1A，~3C.d-T2、在ZABC屮，D为BC边上一点，BC=3BD,AD=^2,题3方法小结：求角或求边必须先找到一个适当的三角形：①包含所求角或边；②条件尽可能充足（三个或以上）。练：1、在AABC中，已知玄=馆，b=V2,B=45°,求A、C和c。2、在AABC中，b=2,B=60°,且AABC只有一解，则边a的取值范围是3、在AABC屮，B=45°,D是BC边上一点，AD=10,AC=4,DC=6,求AB的长。二、边角转换，只留一类。三角形中有些问题会需耍转换边角类型来解决，一般情况下（少数问

5、题除外），转换后的表达式最好只保留边或角的一种类型。例7、在AABC中，若2cosBsinA=sinC,则AABC的形状一定是（）A.等腰肓角三角形B.等腰三角形C.肓角三角形D.等边三角形例8、在AABC中，已知sinB（c-acosB）=sinC（b-acosC）,则AABC的形状为例9、在厶ABC中，asinAsinB+bcos2A=V2a,则一的值为()aA.2a/3B.2^2C.V3D.V2方法小结：单边、单角不能转换吋，联合转换值得一试！练：1、在厶ABCH4,若acosB+bcosA=csinC,则AABC的形状一定是。2、在4ABC'I1,若(a2+c

6、2-b2)tanB=V3ac,则角B的值为。3、锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若-+-=6cosC,则兰匹+空£的值是abtanAtanB4、a、b、c分别是AABC中角A、B、C的对边,(sinB+sinC+sinA^sinB+sinC-sinA)==5SinBSmC>b、c是关于x的方程x?-9x+25cosA=0的两个根(b>c)。⑴求A的正弦值；⑵求边a^b、c；⑶判断AABC的形状。参考答案：一、解三角形（一）已知三边例K解：由余弦定理，得:d+cr」,・・.B丄兀。262ac（二）已知两边（一角）1、已知边边角例次解：由正弦定理，得:

7、sinB=—sinA,b(1)sinB=V2XT=T,AB=60°或加ii⑵讪・・・s或曲（舍）；•272⑶sinB=—产x=1yB=90°；V22⑷Va=b,AB=A=45°(5)sinB=x->1,/.B不存在。V222例3、解：・・•三角形有两解，・・・FmA=fSinB=xa/2a/2

8、IXT=TX<>A2