正弦定理和余弦定理总结.ppt

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1、三角函数锐角三角函数公式简单的三角函数定义商的关系倒数关系sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α最重要的公式sin2α+cos2α=1平方关系平常针对不同条件的常用的两个公式1.设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα2.设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cos

2、αtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα3.任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα4.利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα5.利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π

3、-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα6.π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-c

4、osαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限以上k∈Z两角和公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ–cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsi

5、nβ两角和公式二倍角公式正弦:余弦:正切:三倍角公式和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-co

6、s(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2非重点三角函数对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtan

7、C同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立万能公式半角公式（十分重要，需灵活应用）正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R是此三角形外接圆的半径的两倍）方法一证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC正弦定理方法2.证明a/sin

8、A=b/sinB=c/sinC=2R任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=900因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R余弦定理余弦定理如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：余弦定理两式相加整理得：