专题24正弦定理和余弦定理的应用

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1、专题二十四正弦定理和余弦定理的应用【高频考点解读】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一•些与测最和几何计算何关的实际问题.【热点题型】题型一考査测量距离例1、如图所示,有两座建筑物仙和CD都在河的对岸(不知道它们的高度,且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶力、CZ间的距离，但只冇卷尺和测量仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF,用卷尺测得EF的长度为a,并用测角仪测量了一些如度：ZAEF=a,ZAFE=卩,ZCEF=O,ZCFE=(p,ZAEC=y.请你用文字和公式写出计算/、CZ间距离的步骤和结來.利用正芝足理,„jrrr^sinpsinISO•—ZB八第二

2、歩：在M汗中同理可得*聽矗•♦•第三歩：在4M近中，利用氽弦定理，得s:n:^+；5s:n:^+:：•"s:n8+A【提分秘籍】求距离问题时要注意(1)选定或确定耍创建的三角形，耍首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若冇未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解;(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.题型二考查高度问题例2、如图，在湖而上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30。，测得湖中之影的俯角为45%则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()D.373mA.2.7mB.17.3mC.37.3mtan30°=CE7eCA/-10

3、AEA^45°C1八\\D【解析】在厶MCE中,.CM-10，AE=tan30°-在中，囱45。=姿=时,.CM+10••*E=tan45。，.CM—10CM+10*tan30°=tan45°CM=1M+]V3-1=10(2+萌戶37.3(m)・【答案】C【提分秘籍】求解高度问题首先应分清(1)在测最高度时，要理解仰和、俯也的概念，仰介和俯也都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.题型三考查方位角例3、如图，一船在海上口西向东航行，在/处

4、测得某岛M的方位角为北偏东a角，前进加km后在B处测量该岛的方位角为北偏东卩角,己知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当a与0满足条件时，该船没有触礁危险.解析：由题可知，在△据忖中，根据正眩定理糾总—=亠二，解得B心"W，要使该船没sm90'-・s：g—qsina—*j有触礁危险需满足(90：—4="：°；；響羽,所以当、:.与0的关系满足??icosxosQ於:ng—0)时，该船没有触礁危险.答案：?/iCOSacos"洱m(5(-0)【提分秘籍】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念.结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的儿何性质的

5、应用.题型四考査函数思想在解三角形中的应用例4、如图所示,亠・21已知树顶A离地面迈~米,树上另一点B离地血号■米,亠3某人在离地曲号米的C处看此树，则该人离此树米时，看儿B的视角最大..".tan夕=[｛夕+0)_目=tan少+$—〔anf1+tan^+.5tan.5即■弋=6时，tan么取得最大值，此时a解析：过C作CF丄捋于点F,设厶CR=%氏己知得•捋=岂一¥=5］米)，3F=4-

6、=•ffwf71Jr0RF44

7、、米IzLF=—t=9i米).则lan;夕+4=寺=寺，tar/J=^=-;^取得最大值.答案：6【提分秘籍】函数思想在解三角形屮常与余弦定理应用及函数最

8、值求法相综合，此类问题综合性较强,能力耍求较高，耍求考生耍有一定的分析问题解决问题的能力.解答本题利川了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利川函数最值求法完成解答，注意函数中以+为整体构造二次函数，求最值.