正弦定理和余弦定理专题及解析.docx

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1、正弦定理和余弦定理教学目标　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝

2、bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAba≤b解的个数一解两解一解一解无解诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，

3、若sinA>sinB，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案　(1)×　(2)

4、√　(3)×　(4)×　(5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A.B.C.2D.3解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.答案　D3.(2017·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝(　　)A.－B.C.－D.解析　由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.答案　B4.在△ABC中，A＝

5、60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)A.B.C.2D.2解析　因为S＝×AB×ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案　B5.在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案　等腰三角形或直角三角形

6、考点一　利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)A.1个B.2个C.0个D.无法确定(2)(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)A.1B.2C.3D.4(3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.解析　(1)∵bsinA＝×＝，∴bsinA

7、B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13＝9＋b2＋3b，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1，因此AC＝1.(3)因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.答案　(1)B　(2)A　(3)1【训练1】(1)(2017·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝(　　)A.1B.2C.4D.6(2)(2016·全国Ⅱ

8、卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.解析　(1)a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).(2)在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，由正弦定理得b＝＝.答案　(1)C　(2)考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)【