正弦定理和余弦定理.docx

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1、正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝S△ABC＝absinC＝

2、bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形切圆半径)，并可由此计算R、r选择题在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)A．1个B．2个C．0个D．无法确定解析　∵bsinA＝×＝，∴bsinA

3、，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值围是(　　)A．x＞2B．x＜2C．2＜x＜2D．2＜x＜2解析　若三角形有两解，则必有a＞b，∴x＞2，又由sinA＝sinB＝×＜1，可得x＜2，∴x的取值围是2＜x＜2.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值围是(　　)A．(8,10)B．(2，)C．(2，10)D．(，8)解析　因为3>1，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故即80，所以2

4、形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析　已知0，于是有cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析　∵cos2＝，cos2＝，∴(1＋cosB)·c＝

5、a＋c，∴a＝cosB·c＝，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是(　　)A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析　由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．若△ABC的三个角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析　由正弦定理＝＝＝2R(R为△A

6、BC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0)．则cosC＝＝＜0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B，所以“a＞b”是“cos2

7、A＜cos2B”的充分必要条件．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(　　)A.B.C.D.解析　在△ABC中，由b＝c，得cosA＝＝，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．75°解析　∵S△ABC＝·AB·AC·sinA＝，即××1×sinA＝，∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴

8、A＝90°，∴C＝60°，故选C已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)A.B.C.D.解析　根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝＝，故B＝，故选C.在△ABC中，角A