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《中国矿业大学 概率论与数理统计 最新PPT 第四章课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率论与数理统计—第四章随机变量的数字特征主讲教师：李金波方差第三章第二节二、方差的性质一、方差的定义三、几种重要分布的方差引例:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成,身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60那个合唱队演出效果好？分析：易见，甲乙两队的平均身高都为1.60，但显然甲队比乙队整齐，身高相对集中在1.60米左右，演出效果好。数学期望（均值，平均水平）用什么衡量X与E(X)的偏离程度呢?1、合理,但是存在正负相消，不可
2、行;2、带绝对值的运算，不利于分析;3、一、方差的概念在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度，方差刻划了随机变量的取值若X的取值比较集中，则方差较小；若X的取值比较分散则方差较大.对于其数学期望的离散程度方差的算术平方根为X的方差。定义设X是一个随机变量，若存在，则称称为均方差或标准差。离散型已知X分布律连续型已知X的概率密度注意：⒈是关于随机变量X的函数的数学期望。计算方差的简便公式：⒉方差描述了随机变量X的取值与其均值的偏离程度。证明解比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为例1X891
3、0P0.30.20.5甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数Y：乙击中的环数Y8910P0.20.40.4＝9.2(环)乙的平均环数为＝9.2(环)从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的。但两人射击环数的方差分别为：这表明乙的射击水平比甲稳定。设随机变量X的概率密度为求D（X）。例2解1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);3.若X与Y独立，则二、方差的性质证证⒋若X与Y独立，且a,b是常数，则推广若X1,X2,…,
4、Xn相互独立,则⒌⒍其中1．（0-1）分布参数为p01三．常见分布的方差2．二项分布其中，且相互独立。则由方差的性质可得3．泊松分布分布律为参数为密度函数4．均匀分布参数为密度函数⒌指数分布参数为⒍正态分布参数为密度函数注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学期望和方差所决定。特别，当时例3设X,Y是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量,且，则求随机变量服从什么分布？解Z为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为故例4设X,Y是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量,则求随机变
5、量的数学期望解记则故例5设X的可能取值为且，求X的分布律。解设X的分布律为所以已知例6求的次数，对X独立观察4次，Y表示X的观察值大于解由题意可知例7设，且⑴求X和Y的分布律;⑵求X+Y的方差。解⑴X,Y的取值都为-1和1，则⑵X+Y的分布律为协方差和相关系数第四章第三节一、协方差和相关系数的定义二、协方差的性质三、相关系数的性质定义设二维随机变量则称它为与的协方差，记为即称为随机变量的相关系数。与若存在，一、协方差和相关系数的定义二、协方差的性质⒈Pf:⒉（协方差的计算公式）Pf:⒊Pf:若X,
6、Y相互独立，则⒋⒌为常数⒍Pf:三、相关系数的性质1)2)的充要条件是与以概率1呈线性关系。即其中为常数定理1设随机变量和的相关系数存在，则证⑴则Cauchy-Schwarz不等式所以证⑵仅有一个重根说明相关系数之间线性关系的一种度量.，X与Y的线性关系越显著；，X与Y的线性关系越不显著；四个等价命题：2）3）4）1）相关系数则称与不相关;例1设随机变量的线性函数则求X和Y的相关系数。解法一由已知可得所以解法二由已知可得所以不相关：X与Y之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。所以，当X和
7、Y独立时，Cov(X,Y)=0.故但由并不一定能推出X和Y独立.请看下例独立：X与Y之间没有任何函数关系。例2设随机变量的概率密度为问X和Y是否相互独立，是否不相关？解⑴先求关于X和Y的边缘概率密度因为所以X和Y不相互独立。⑵求X和Y的相关系数所以故X和Y不相关。独立不相关若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关特例若(X,Y)服从二维正态分布。是Y与X的相关系数。以下画出取几个不同值时(X,Y)的密度函数图。132页例292页推广（n维正态分布的几条重要性质）136页1.X=(X1
8、,X2,…,Xn)服从n元正态分布a1X1+a2X2+…+anXn均服从正态分布。对一切不全为0的实数a1,a2,…,an，2.若X=(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，Y1,Y2,…，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数，则(Y1,Y2,…，Yk)也服从多元正态分布。这一性质称为正态分布的线性变换不变性。3.设(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，则“X1,X2,…,Xn相互独立”“X1,X2,…,Xn两两不相关”例3已知二维随机变量的联合分布律为求：，0.300
