概率论与数理统计课件(中国矿业大学)

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1、在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.考察一台测量仪器的好坏,既看所测结果的平均值又要看每次测量的结果是否集中，即每次测量值与平均值的偏离程度是否小。例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随

2、机变量，但能清晰地描述其某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离均值的情况——方差描述两随机变量间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描述第四章随机变量的数字特征一、数学期望二、方差三、协方差及相关系数四、矩、协方差矩阵数学期望第四章第一节二、随机变量函数的数学期望一、数学期望的概念三、数学期望的性质四、几种重要分布的数学期望我们来看一个引例.引例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产

3、的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况（假定小张每天至多出现三件废品）1、离散型随机变量的数学期望一、数学期望的概念对于随机变量来说，有时不仅要知道它的概率分布，还希望知道随机变量取值的“平均”大小。可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同

4、，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,以频率为权的加权平均当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的若级数绝对收敛。设离散型随机变量X的分布律为简称期望或均值，记为E

5、(X).则称此级数的和为X的数学期望。即级数的和.数学期望是随机变量的平均值，其与X取值xk的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。定义1定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.解设试开次数为X,于是某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.例1例2甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？解甲乙的平均环数可求得：

6、因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。X：甲击中的环数Y：乙击中的环数期望值在决策中有着广泛的应用假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)；如经营工艺品，风险小但获利少(95％会赚，但利润为1000元)．究竟该如何决策？所以权衡下来，情愿去经营西瓜，因它的期望值高．计算期望值：若经营西瓜，期望值E1=0.7×2000=1400元．而经营工艺品期望值E2＝0.95×1000＝950元．再如:考试中经常碰到选择题，选对3分，错了扣一分没有任何线索的情况

7、下，能不能碰碰运气计算得分的期望值蒙对答案的概率0.25此种情况下，蒙不蒙效果都一样2、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

8、是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.例3已知某电子元件的寿命X服从参数为的指数分布(单位：小时）。求这类电子元件的平均寿命E(X)。解小时。由定义可得注意不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!二、随机变量函数的数学期望1.