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《概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第三章 2012.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三章多维随机变量及其分布一、二维随机变量二、边缘分布三、条件分布五、两个随机变量的函数的分布四、相互独立的随机变量第一节二维随机变量二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置
2、是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.一般地,设是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或维随机变量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.定义1设随机试验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个向量称为二维随机变量或二维随机向量。定义2设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或联合分布函数。一、二维随机变量及其分布函数将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点
3、左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释随机点落在矩形域内的概率为关于右连续，即4.对上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明，如果某一二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）．例1.设的分布函数为求常数的值及概率解由分布函数的性质得或随机变量X和Y的联合分布律.k=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律k=1,2,…定义3的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称设二维离散型随机变量可能取的值是记如果
4、二维随机变量全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的分布律,二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量的分布律具有性质也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.定义5（X，Y）的联合分布函数为：其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i,j来求和的。例1、将骰子抛两次，X—第一次出现的点数，Y—第二次出现的点数，求（X,Y）的分布律。解：XY123456123456例2把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解：P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}
5、P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}=3/8=3/8定义：设二维随机变量的分布函数为若存在使得对任意实数总有则称为二维连续型随机变量,称为的概率密度,或称为随机变量和的联合概率密度。三、二维连续型随机变量①②f(x,y)的性质:③若在点连续，则有④,即连续型随机变量在某点的概率为0。G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。⑤例3设二维随机变量的概率密度试求：⑴常数的值；⑵分布函数⑶概率⑷概率解⑴由概率密度的性质得从而得⑵由分布函数的性质⑶将看作平面上随机点的坐标，有⑷例4设二维随机变量的概率
6、密度为试求概率解积分区域如右图所示的分布函数为例5已知试求：⑴的概率密度⑵解⑴由概率密度的性质知⑵的概率密度为例6已知⑴求常数A的值；⑵求的分布函数解⑴由性质可得所以⑵由于①当或时，②当时，③当时④当时，⑤当时，故四、两个重要分布（1）设平面区域D的面积为A，若随机向量（X，Y）的概率密度为则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。1、均匀分布向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域D1的概率与小区域的面积成正比，而与D1的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在D上服从均匀分布.（2）若区域D内任一部分区域D1，其面积
7、为A1，则有例7设(X,Y)~G上的均匀分布,f(x,y);P(Y>X2);求：解(1)y=x10xy1G(2)y=x2的二维正态分布，记为若二维随机变量的概率密度为其中都是常数,且则称服从参数为2、二维正态分布作业P66习题3.11，3，5二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?下一节里,我们就来探求这个问题.边缘分布第三章二、边缘分布律一、边缘分布函数三、边缘概率密度第二节一、边缘分布函数的分布函数为分别的分布函数为设记和的边缘分布函数。
8、，称为关于和则同理可得研究问题：已知联合分布，怎样求X,Y的边缘分布。解:的边缘分布函数为关于例1已知的分布函数为的边缘分布函数和求关于问各服从什么分布？同理，的概率密度为和记所
