矩阵的运算课件.ppt

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1、矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法方阵的幂第二节矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式矩阵乘积的意义1.定义定义2设A=(aij)m×n与B=(bij)m×n.矩阵A与矩阵B的和，记为A+B,规定为即A＋B=(aij+bij)m×n一、矩阵的加法A-B=A+(-B).称为A的负矩阵，显然有定义矩阵的差为比如设矩阵，记-A=(-aij)2.运算规律设A,B,C为同型矩阵,则(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);(3)A+O=O+A=A,(4)A+(-A)=O

2、.其中O与A是同型矩阵;例1设(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求C的负矩阵.(1)A与B能进行加法运算;阵,A和B都是3×2矩阵,C是2×2矩阵.B与C不能进行加法运算,因为它们不是同型矩而A与C,解(2)C的负矩阵为:1.定义定义3设A=(aij)m×n,k是一个数,则为数k与矩阵A的数量乘积,简称数乘,记为kA.称矩阵二、数与矩阵相乘根据矩阵数乘运算的定义，显然就是-1与A的数乘积.数量矩阵就是数与单位矩阵的数乘积.或2.运算规律设A,B为同型矩阵

3、,k,l为常数，则(1)1A=A;(2)k(lA)=(kl)A;(3)k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算.例2设且求矩阵X.在两端同加上得解两端乘以得定义4设矩阵A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,i=1,2,···,m;j=1,2,···,n,注意:只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.cij=ai1b1j+ai2b2j+···+aipbpj矩阵A与B的乘积C=AB=(cij)m×n,其

4、中三、矩阵与矩阵相乘例3已知讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。解例4已知讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。因为A是2×4矩阵,B是4×3矩阵,A定义有其乘积AB=C是一个2×3矩阵,由矩阵乘积的的列数等于B的行数,所以矩阵A与B可以相乘,解例5求矩阵的乘积AB及BA.解由定义有定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组若令则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:AX=b.关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.“A左乘B”或“B右乘A”.所以,在作乘法时,应

5、指明它们相乘的次序.如AB读作即使AB与BA都有定义,它们也不一定相等.AB有定义,BA不一定有定义.如如(3)矩阵的乘法不满足消去律,即如果但AC.例如AB=CB,BO,不一定能推出A=C.(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.例如本节中AO,BO,但BA=O.3.运算规律(1)Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)设A是m×n矩阵,Em是m阶单位矩(6)k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)A(B+C)=AB+

6、AC,EmA=A,AEn=A;阵,En是n阶单位矩阵,则数量矩阵与任何方阵都是可交换的。(5)(kE)A=kA=A(kE).四、方阵的幂如果A是n阶方阵,那么,AA有意义,也有意义,因此有下述定义:另外还规定，１.定义Ａ0=E.Ａ相乘称为Ａ的m次幂，记为Ａm,即定义设A是n阶方阵,m是正整数,m个2.运算规律设A为方阵,k,l为正整数,则阶方阵A与B,一般来说(AB)kAkBk.又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个nAkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.例设计算.五、矩阵的转置1.定义定义5把矩

7、阵A的行换成同序数的列得到例如矩阵的转置矩阵为一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT或A′.2.运算规律设A，B，C，A1，A2，···，Ak是矩阵，且(A1A2…Ak)T=AkT···A2TA1T;(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;它们的行数与列数使相应运算有意义，k是数，则(5)若A为n阶矩阵,则(Am)T=(AT)m,m为正整数;例7已知求(AB)T.解法1先乘积后转置所以因为例7已知求(AB)T.解法2先转置后乘积(AB)T

8、=BTAT设A为n阶方阵，如果满足，即那么A称为对称矩阵，简称对称阵.对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等.六、方阵的行列式1.定义定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),叫做方阵A的行列式,记作

9、A

10、或detA.比如，方阵与行列式是两个不同的概念,n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数(也就是数表A)按一定的运算法则所确定的一个数.注意2.运算规律设A,B为n阶方阵,