《矩阵的其它运算》PPT课件.ppt

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1、§１１．４　矩阵的其它运算１．矩阵的线性运算２．转置矩阵与共轭转置矩阵３．Ｕ矩阵与Ｈ矩阵４．对角矩阵与准对角矩阵1一、矩阵的线性运算定义设Ａ和Ｂ是两个同型矩阵，则把两个矩阵的对应元素相加而得到的矩阵称为矩阵Ａ与Ｂ的和，记作Ａ＋Ｂ．例如：则必须注意：只有两个同型的矩阵才能相加！2矩阵加法的运算规律交换律结合律称作矩阵Ａ的负矩阵．由于矩阵乘法不满足交换律，故分配律有两个．3数乘矩阵的概念我们已经介绍过．即对于数乘矩阵，下列运算律是成立的：矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）当然AB要有意义4二、矩阵的转置与共轭转置Transpose,conjug

2、ate定义把一个矩阵的行变成列，而列变成行所得到的新的矩阵叫原矩阵的转置矩阵．矩阵Ａ的转置矩阵记作　　或例如：则旋转变换5对于矩阵的转置运算，下列性质成立：特别注意顺序！共轭转置矩阵的概念与性质定义Ａ是复矩阵，若把其所有元素都改成共轭复数，得到矩阵Ａ的共轭矩阵　　；的转置矩阵叫Ａ的共轭转置矩阵．记作即例如注意区分伴随矩阵！6对矩阵的共轭转置运算有下列性质：特别注意(3)和(4)！三、Ｕ矩阵与Ｈ矩阵下面要介绍的是另外几种特殊的矩阵．１．Ｕ矩阵与正交矩阵定义若一个矩阵Ａ满足条件称为酉矩阵．特别地，如果Ａ是实矩阵，则称为正交矩阵．由此可知：正交矩阵不过是实的Ｕ矩阵．Unitar

3、y,Hermitematrix7矩阵Ａ称为正交矩阵其中最后的定义是数学中最常用的定义．例如满足故Ｒ是正交矩阵．在后一种情况下，故正交矩阵的定义可改为：对应于Ｕ矩阵和正交矩阵的线性变换是所谓的酉变换和正交变换．8酉矩阵的几个重要性质：（１）因此以上三式都可以当作是酉矩阵的定义．即　　每一行的元素的模的平方和等于１，其中第二式说明酉矩阵　　的行满足正交条件．每一行的元素与另一行的对应元素的共轭复数的乘积之和为０9而第三式说明酉矩阵的列是满足正交条件的．（２）酉矩阵的行列式的模是１．只须对等价定义中的第二式或第三式取行列式即可知．（３）两个同阶Ｕ矩阵的乘积是Ｕ矩阵．（４）若Ｕ是

4、Ｕ矩阵，则　也是Ｕ矩阵．把上面４条性质中的酉矩阵换成正交矩阵，换为那么４条性质也成立．为什么?10２．Ｈ矩阵与对称矩阵定义如果方阵Ａ满足则称为Ｈ矩阵．厄米特Hermite矩阵特别地，如Ａ是实矩阵，则是对称矩阵．即对称矩阵是特殊的厄米特矩阵．由定义可知：Ｈ矩阵中，关于主对角线对称的元素是互相共轭的复数，即　　　　而对角线上元素全是实数．而对称矩阵的条件可改写为其关于主对角线对称的元素必相等，即对称阵在讨论二次型时起着关键的作用．11如：可以重新排列为其中这里的矩阵Ａ就是一个对称矩阵而12四、对角矩阵与准对角阵先前我们已经给出了对角矩阵为形如的方阵，即除对角线上的元素外，其它

5、元素全是０．特别地，如果则是数量矩阵．对于两个n阶对角矩阵的乘法，交换律是成立的，即13下面我们谈谈准对角矩阵的概念及最简单的性质．设Ａ为n阶方阵，则形如的矩阵，其中为阶方阵，而Ｏ表示适当类型的零矩阵．这样的矩阵称为准对角矩阵或分块对角矩阵．型由名称即可知道，准对角矩阵不过是分块矩阵的特殊情形．关于一般的分块矩阵的内容请参看其他教材．14矩阵分块是为了简化对较高阶数的矩阵的计算．因为分块矩阵的运算非常简单．对同类型的分块对角矩阵如果下面的运算都有意义，则运算性质有：（１）15（２）（３）（４）分块矩阵的运算似乎可以把每个子块当作矩阵的元素那样对待．16（５）例１其中17其

6、中所以18故19例２设解：20§11.4结　束21