映射与函数 同济大学高数（第七版）上册课件.ppt

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1、第一章函数与极限分析基础函数—研究对象极限—研究方法连续—研究桥梁1.1映射与函数一、基本概念二、函数的概念及其几种特性三、反函数四、复合函数五、初等函数一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集（列举法）无限集（描述法）几个数集实数R：有理数和无理数统称为实数.一般而言，集合右上角加“*”号表示去0，加“+”号表示去负数和0.数集间的关系：2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,一、基本概念称为半开区间,有限区间：无限区间：称为半开区间,3.邻域:一

2、、基本概念左邻域与右邻域去心邻域:半邻域:4.绝对值:运算性质:一、基本概念一、基本概念映射的几个类型：5.映射：Y中任一元素y都是X中某元素的像.既是单射又是满射的映射.只有单射才存在逆映射.第一个映射的值域包含于第二个映射的定义域.满射：单射：双射（一一映射）：逆映射：复合映射：二、函数的概念及其几种特性定义1.函数的概念按函数关系的定义，对应于每一个自变量x，仅有一个因变量y与之对应，故函数是单值的，称为单值函数.但是，有的时候，我们常遇到这一类关系，它使得对应于每一个x∈D，y都有一个以上的值与之对应，根据函数的定义，这不是一个函数关系，但为了研究

3、的方便，我们也把这类关系称为多值函数关系，简称多值函数.例如圆x2+y2=a2.单值函数与多值函数1.函数的概念若不加以特别声明，我们所涉及的函数均指单值函数！2、自然定义域：自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合.若两个函数的定义域相同且对应法则也相同，则这两个函数相同，否则就是不同的,这两者构成了函数的两个要素.（值域可由其定义域和对应规则确定！）1.函数的概念函数的定义域求定义域的方法：一般地，若函数不给出其定义域，我们就默认是自然定义域。求定义域应注意以下问题：（1）分式的分母不能为零；（2）开偶次方的被开方式子不能为负；（3）对数符号后的

4、式子不能为负；（4）反正弦、反余弦后式子的绝对值不能大于1；（5）有限个函数由四则运算得到的新函数，其定义域是各函数定义域的交集.练习：求下列函数的自然定义域.例1求下列函数的自然定义域.练习答案(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同.例2判断下列函数是否相同练习判断下列函数是否相同(2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同.解练习答案表示同一个函数，因为它们的定义域和对应法则都相同.有上界.无界.函数的有界性二、函数的概念及其几种特性2.函数的几种特性有下界.有界.M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX函数的有界性有界函数的性质：例如：函

5、数的单调性2.函数的几种特性xyoxyo函数的单调性单调增加单调减少xyoxyo单调不减单调不增以上四类函数统称为单调函数！证明函数在某区间上单调的方法：函数的奇偶性偶函数图形关于y轴对称yxox-x2.函数的几种特性yxox-x奇函数的图形关于原点对称（两边对折重合）,如（一边旋转180度得到另一边），如（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的；（2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数；（3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数；（4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数；（5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数，（6）任一定义

6、在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.函数的奇偶性质：证明函数在某区间上奇偶性的方法：函数的周期性（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.在每个区间长度为ω的区间上，函数图形有相同的形状!2.函数的几种特性注:周期函数不一定存在最小正周期!xyo有理数点无理数点•1xyo任何正有理数都是D(x)的周期任何正实数都是f(x)的周期周期函数的性质：（1）若f(x)的周期是ω，则kω（k为正整数）也是f(x)的周期即周期，函数有无数个周期；周期函数的定义域必定是无界数集，可以是不连通的无界数集；（2）具有相同周期ω的两个函数的和

7、、积仍是周期为ω的周期函数,但是当ω本是已给两函数的最小周期，在作和或作积后，ω可能不再是新周期函数的最小周期了；（5）两个周期函数的和不一定是周期函数（必须可通约才是周期函数）.常见函数的周期定义三、反函数注：反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域!直接函数与反函数的图形关于直线对称.求反函数的方法：反函数的性质：例3解练习练习答案解例如：在定义域上单调增加（减少）的函数必然存在反函数（因为其肯定是单射），并且此反函数也是单调增加（减少）的。但并不是任何函数都有反函数的,如y=x2,那么什么样的函数存在反函数呢？结论：1xyo12-1-12例4解f

8、(x)在[−1,1]上非单调，但其[−1,1]在存在反函数！注：分