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时间:2020-07-28
《映射与函数 同济大学高数(第七版)上册课件.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章函数与极限分析基础函数—研究对象极限—研究方法连续—研究桥梁1.1映射与函数一、基本概念二、函数的概念及其几种特性三、反函数四、复合函数五、初等函数一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集(列举法)无限集(描述法)几个数集实数R:有理数和无理数统称为实数.一般而言,集合右上角加“*”号表示去0,加“+”号表示去负数和0.数集间的关系:2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数,这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,一、基本概念称为半开区间,有限区间:无限区间:称为半开区间,3.邻域:一
2、、基本概念左邻域与右邻域去心邻域:半邻域:4.绝对值:运算性质:一、基本概念一、基本概念映射的几个类型:5.映射:Y中任一元素y都是X中某元素的像.既是单射又是满射的映射.只有单射才存在逆映射.第一个映射的值域包含于第二个映射的定义域.满射:单射:双射(一一映射):逆映射:复合映射:二、函数的概念及其几种特性定义1.函数的概念按函数关系的定义,对应于每一个自变量x,仅有一个因变量y与之对应,故函数是单值的,称为单值函数.但是,有的时候,我们常遇到这一类关系,它使得对应于每一个x∈D,y都有一个以上的值与之对应,根据函数的定义,这不是一个函数关系,但为了研究
3、的方便,我们也把这类关系称为多值函数关系,简称多值函数.例如圆x2+y2=a2.单值函数与多值函数1.函数的概念若不加以特别声明,我们所涉及的函数均指单值函数!2、自然定义域:自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合.若两个函数的定义域相同且对应法则也相同,则这两个函数相同,否则就是不同的,这两者构成了函数的两个要素.(值域可由其定义域和对应规则确定!)1.函数的概念函数的定义域求定义域的方法:一般地,若函数不给出其定义域,我们就默认是自然定义域。求定义域应注意以下问题:(1)分式的分母不能为零;(2)开偶次方的被开方式子不能为负;(3)对数符号后的
4、式子不能为负;(4)反正弦、反余弦后式子的绝对值不能大于1;(5)有限个函数由四则运算得到的新函数,其定义域是各函数定义域的交集.练习:求下列函数的自然定义域.例1求下列函数的自然定义域.练习答案(1)表示不同的函数,因为它们的对应法则不同.例2判断下列函数是否相同练习判断下列函数是否相同(2)表示不同的函数,因为它们的定义域不同.解练习答案表示同一个函数,因为它们的定义域和对应法则都相同.有上界.无界.函数的有界性二、函数的概念及其几种特性2.函数的几种特性有下界.有界.M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX函数的有界性有界函数的性质:例如:函
5、数的单调性2.函数的几种特性xyoxyo函数的单调性单调增加单调减少xyoxyo单调不减单调不增以上四类函数统称为单调函数!证明函数在某区间上单调的方法:函数的奇偶性偶函数图形关于y轴对称yxox-x2.函数的几种特性yxox-x奇函数的图形关于原点对称(两边对折重合),如(一边旋转180度得到另一边),如(1)奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的;(2)两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数;(3)两个奇函数的和、差仍是奇函数,两个奇函数的积、商是偶函数;(4)奇函数与偶函数的积、商是奇函数;(5)奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数,(6)任一定义
6、在区间(-a,a)(a>0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.函数的奇偶性质:证明函数在某区间上奇偶性的方法:函数的周期性(通常说周期函数的周期是指最小正周期).在每个区间长度为ω的区间上,函数图形有相同的形状!2.函数的几种特性注:周期函数不一定存在最小正周期!xyo有理数点无理数点•1xyo任何正有理数都是D(x)的周期任何正实数都是f(x)的周期周期函数的性质:(1)若f(x)的周期是ω,则kω(k为正整数)也是f(x)的周期即周期,函数有无数个周期;周期函数的定义域必定是无界数集,可以是不连通的无界数集;(2)具有相同周期ω的两个函数的和
7、、积仍是周期为ω的周期函数,但是当ω本是已给两函数的最小周期,在作和或作积后,ω可能不再是新周期函数的最小周期了;(5)两个周期函数的和不一定是周期函数(必须可通约才是周期函数).常见函数的周期定义三、反函数注:反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域!直接函数与反函数的图形关于直线对称.求反函数的方法:反函数的性质:例3解练习练习答案解例如:在定义域上单调增加(减少)的函数必然存在反函数(因为其肯定是单射),并且此反函数也是单调增加(减少)的。但并不是任何函数都有反函数的,如y=x2,那么什么样的函数存在反函数呢?结论:1xyo12-1-12例4解f
8、(x)在[−1,1]上非单调,但其[−1,1]在存在反函数!注:分
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