高数§1.1 映射与函数.ppt

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1、§1.1映射与函数上页下页结束返回首页1.集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.一、集合下页集合的表示1.列举法把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.2.描述法若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为M{x

2、x具有性质P}.例如M{(x,y)

3、x,y为实数,x2y21}.下页思考：集合悖论

4、“我给不给自己理发的人理发”——罗素悖论几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.下页2.集合的运算设A、B是两个集合,则AB{x

5、xA或xB}称为A与B的并集(简称并).AB{x

6、xA且xB}称为A与B的交集(简称交).AB{x

7、xA且xB}称为A与B的差集(简称差).AC

8、IA{x

9、xA}为称A的余集或补集,其中I为全集.提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.下页集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合,则有(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合,则有(4

10、)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.证明：下页所以(AB)CACBC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xBx(AB)C直积(笛卡儿积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合AB{(x,y)

11、xA且yB}称为集合A与集合B的直积.例如,RR{(x,y)

12、xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.注意：证明集合相等要用元素法！数集{x

13、a

14、a

15、axb}——闭区间.[a,b)={x

16、ax<

17、b}——半开区间,(a,b]={x

18、a

19、xb},(-,+)={x

20、

21、x

22、<+}.[a,+)={x

23、ax},无限区间(-,b)={x

24、x

25、a

26、0<

27、x-a

28、<}.。首页以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设>0,则称U(a,)=(a-,a+)={x

29、

30、x-a

31、<}为点a的邻域,其中点a称为邻域的中心,称

32、为邻域的半径.二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向y轴投影定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一

33、一映射.例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)(满射)X(数集或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)f称为X上的泛函X(≠)Xf称为X上的变换Rf称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.(2)复合映射手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件不可

34、少.以上定