高数第一章 映射与函数

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1、第一节映射与函数集合与映射函数的概念函数的几种特性反函数与复合函数初等函数建立函数关系举例1一、集合与映射1.集合集合：具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集如且中有不在的元素，的真子集，记为则称是若则必就说是的子集，记作2数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.----正整数集如果且则称集合和相等，32.实数集定义1设如果存在数使得对一切都有则称有上(下)界,定义2设是一个非空数集,若存在一个上(下)界使得对的一切上(下)界都有则

2、称是的上(下)确界,定理1任何一个非空的实数集如果有上(下)界,则必有上(下)确界.如果数集既有上界又有下界,则称是有界的,为的一个上(下)界.称是无界的.否则称记为4区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,5称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.673.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：通常用字母等表示常量,用字母等表示变量.84.映射定义3设是两个非空集合,若对每个按照某个确定

3、的法则有唯一确定的与它对应,则称是到的一个映射,记作或其中称为在映射下的像，称为在映射下的一个原像(或逆像),称为映射的定义域,记为或所有元素的像的全体所构成的集合称为的值域,记为或即9映射的两个基本要素：定义域与对应法则设如果则称是一个满映射，如果对中的任意两个不同元素有则称是一个单射，如果一个映射既是满射，又是单射则称是个一一映射.如果是个一一映射，则对每个有唯一的一个适合规定则就是到上的一个映射，称为的逆映射，记为10其定义域值域此时也称是可逆映射.设则对每个对应唯一的一个从而对应唯一的一个这样就确定了一个从集合到集合的映射,这个映射称为和所确定的复合映射,记为即任意两个映射则当且

4、仅当115.绝对值:运算性质:绝对值不等式:12二、函数概念例圆内接正多边形的周长圆内接正n边形Or)1函数的定义13因变量自变量定义4数集叫做这个函数的定义域。记作则称映射为定义在上的一个函数，是一个给定的数集，设函数的值域.14自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.15如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数又称为单值函数.如果给定一个法则,按照这个法则,对每个有多个确定的与之对应,这样的一个法则称为多值函数．一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论．例1求函数的定义域.解函数的的定义域

5、为满足不等式例如16既满足因此函数的定义域为2函数的图形定义517(1)符号函数3函数的表示法1-1xyo函数常用的表示法有公式法,图示法,表格法.几种常用的函数1812345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(2)取整函数表示不超过的最大整数(3)绝对值函数19(4)取最值函数yxoyxo20在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.21例2脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解22单三角脉冲信号的电压23例3解故24三函数的几种特性1函数的奇偶性偶函数yxox-x25奇函数yxox-x262函

6、数的单调性xyo27xyo283函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.设函数的定义域为且则称为周期函数,称为函数的周期.如果存在一个不为零的数使得对于任一29M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX4．函数的有界性30四反函数与复合函数1反函数定义6设函数是一一映射,则其逆映射称为函数的反函数,记为称函数为直接函数.由定义可知,若函数存在反函数则(1)对于的任意两个数定有31(2)与互为反函数,且(3)DD32习惯上用字母表示自变量,表示因变量,函数的反函数经常表示成例4讨论函数的反函数.解函数的定义域值域由于对于有两个自变量值都满足关系式因此此函数不存在反函数.

7、但如果将函数的定义域限制在则函数的反函数为的反函数为33例5求函数的反函数.解当时,得当时,得当时,得342反函数的图形直接函数与反函数的图形关于直线对称.353复合函数定义7同复合映射一样，函数可以构成复合函数当且仅当如果时,我们可以通过改变的定义域来构造复合函数.36注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.37例6解38综上所述39五初等函数(2)幂函数1基本初等函数(