高数1-1映射与函数

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1、第一章函数与极限分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征例:整数集合或有理数集p与q互质实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间定义3.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算

2、:余集直积特例:记为平面上的全体点集或2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:4.绝对值:运算性质:绝对值不等式:绝对值不等式的两个变形公式：二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向y轴投影定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在

3、映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.引例2,3引例2引例2X(数集或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)f称为X上的泛函X(≠)Xf称为X上的变换Rf称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其

4、中称此映射为f的逆映射.(2)复合映射手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.二、函数概念定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于x∈D，变量y按照确定的法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数记作自变量因变量函数的两要素:定义域与对应法则.自变量对应法则f因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．定义:几个特殊的函数举例(1)符号函数1

5、-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(3)狄利克雷函数有理数点无理数点•1xyo(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(5)绝对值函数oxy定义域R值域三、函数的特性1．函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX无界2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:yxox-x偶函数yxox-x奇函数4周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函

6、数狄里克雷函数x为有理数x为无理数四.反函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性2.函数的定义及函数的二要素4.反函数思考题