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1、引言一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯笛卡儿目录上页下页返回结束1.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分机动目录上页下页返回结束二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学
2、.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节目录上页下页返回结束华罗庚第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M为数集表示M
3、中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征例:整数集合或有理数集p与q互质实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间机动目录上页下页返回结束无限区间点的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:机动目录上页下页返回结束是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A若且则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束定义3.给定两个集合A
4、,B,并集交集且差集且定义下列运算:直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动目录上页下页返回结束引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向y轴投影机动目录上页下页返回结束定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规
5、则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.机动目录上页下页返回结束对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.引例2,3机动目录上页下页返回结束引例2引例2例1.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例2.如图所示,则有(满射)机动目录上页下页返回结束X(实数集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)机动目录上页下页返回结束f称为X上的泛函X(≠)Xf称为X上的变换Rf称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射(1)逆映
6、射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.机动目录上页下页返回结束(2)复合映射机动目录上页下页返回结束手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或机动目录上页下页返回结束注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.作业P211题第二节目录上页下页返回结束
