同济六版高数课件(青岛大学)1.1映射与函数.ppt

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1、一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集第一章函数、极限与连续第一节函数记为：集合分类：集合表示：例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.子集：2.区间:开区间闭区间半开区间（有限区间）（无限区间）3.邻域:。二、映射、函数1.映射定义：设X、Y是两个非空集合，若存在使对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，一个法则f，则称f为从X到Y的映射，其中y称为元素x（在映射f下）的像，记为f(x)集合X称为映射f的定义域，集合X中所有元素的

2、像所组成的集合称为映射f的值域，记作f：X→Y例1设例2设xyo定义：设f是从X到Y的映射，则称f为满射，若对X中任意两个不同的元素则称f为单射。若f既为单射又为满射，则称f为单一一映射（双射）。定义设数集则称映射记作y=f(x)，为定义在D上的函数，按对应法则f，总有确定的值y与之对应，这个值y称为函数f在x处的函数值，记作f(x).注意：函数f是指自变量x与因变量y之间的对应关系。函数值f(x)是x在对应关系f作用下的值。习惯上常用记号：来表示定义在D上的函数。应理解为由它确定的的函数f。2.函数定义域与对应法则.函数与表示自变量

3、的字母无关函数的两要素:定义:例5指出下列函数是否相同，为什么？不同相同x1-1yo(1)符号函数几个特殊的函数举例12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(2)取整函数阶梯曲线y=[x][x]表示不超过x的最大整数有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例如3、函数的几种特性（1）函数的有界性:设函数f(x)的定义域为D，定义：则称函数f(x)在X上有界，否则称无界。则称函数f(x)在X上有上界。则称函数f(x)在X上有下界。函数f(x)在

4、X上有界的充要是：f(x)在X上既有上界又有下界.证必要性（显然）充分性因为f(x)在X上既有上界又有下界.取M=max{

5、A

6、,

7、B

8、}则必有所以函数f(x)在X上有界。例6证明有界证有界（2）函数的单调性:xyo（或减少）xyo则称y=f(x)在区间I上是严格单调增加的.（3）函数的奇偶性:偶函数yxox-x（或奇函数）yxox-x奇函数例7证明两个奇函数的乘积是偶函数证设f(x)、g(x)都是奇函数记h(x)=f(x)g(x)故h(x)是偶函数两个偶函数的乘积是偶函数一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数证明定义在R上的任意函数，

9、一个奇函数与一个偶函数之和。都可以表示为证奇函数偶函数（4）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。4、反函数与复合函数（1）反函数定义：设函数y=f(x)若对存在唯一的使y=f(x)成立，则在f(X)中定义了一个函数称为y=f(x)的反函数，例8求的反函数解反函数定理1设函数y=f(x)在X上严格单调增(减),则设y=f(x)必存在反函数且它在f(X)上也是严格单调增(减).证使y=f(x)因为y=f(x)在X上严格单调增矛盾

10、使y=f(x)故反函数存在因为y=f(x)在X上严格单调增矛盾严格单调增（2）复合函数定义:,函数u=g(x)设函数y=f(u)的定义域为的定义域为D，则称函数y=f(g(x))为由函数y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数若存在定义域(-1,1)例9解综上所述三、初等函数（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和有限次函数的复合,的函数,称为初等函数.所构成并可用一个式子表示双曲函数与反双曲函数

11、奇函数.偶函数.（1）双曲函数奇函数,有界函数,双曲函数常用公式（2）反双曲函数奇函数,奇函数,