复数的概念（公开课）课件.ppt

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1、4.1数系的扩充与复数的概念我们知道,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac<0时,没有实数根.这说明,人们在研究代数方程的过程中,限制实数集合,有些问题就无法解决.因此,需要把实数集进一步扩充,这就是本章里我们将要学习的复数的知识.复数是16世纪人们在解决二次方程、三次方程时引入的.大约经过了一个世纪,才逐步形成完整的理论.现在,它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广泛应用,是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具.复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,复数也是初等数学的基础知识.知识引

2、入我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2－4ac<0时，没有实数根。如果要解决这一问题，其最根本的就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于－1。现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。（

3、1）i21；讲授新课实部复数的代数形式：通常用字母z表示，即虚部其中称为虚数单位。复数集C和实数集R之间有什么关系？讨论？复数a+bi练一练说出下列复数的实部与虚部.并指出哪些是实数?哪些是虚数?哪些是纯虚数?复数实部虚部实数虚数纯虚数42-3i0-6i√√√√√√√例1:实数m取什么值时，复数（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解:（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当即时，复数z是纯虚数．练习:当m为何实数时，复数（1）实数（2）虚数（3）纯虚数(3)m=-2(1)m=(2)

4、m如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．复数相等的定义：由这个定义得到a+bi=0.一般地，两个复数只能说它们相等或不相等，而不能比较大小。例如，1+i与3+5i不能比较大小。当且仅当两个复数均为实数时，才能比较大小。例2:已知，其中求解：根据复数相等的定义，得方程组得1、若x，y为实数，且求x，y.练习：x=-3,y=42、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.x=23、已知复数x=1在几何上，我们用什么来表示实数?想一想？实数的几何意义类比实数的表示，可以用什么来表示

5、复数？实数可以用数轴上的点来表示。实数数轴上的点(形)(数)一一对应回忆…复数的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)实部!虚部!一个复数由什么唯一确定？根据复数相等的定义知，一个复数由实部和虚部唯一确定.复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi复数的几何意义复数z=a+bi复平面中的点Z(a,b)（数）（形）一一对应复数的几何

6、意义注：实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。1．下列命题中的假命题是（）D例题讲解2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形

7、结合思想例题讲解2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限.实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa

8、a

9、=

10、OA

11、实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。z=a+bixOy复数的绝对值(复数的模)的几何意义:复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。Z(a,b)复数的模复数的几何意义例求下列复数的

12、模：(1)z1=-2i(2)z2=5-5i(3)上述题中这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？思考：(2)满足

13、z

14、=5(z∈C)的z值有几个？(3)z4=1+mi(m∈R)(4)z5=4a-3ai(a<0)(1)复数的模能否比较大小？例题讲解xO55–5–5设z=x+yi(x,y∈R)2.复数：形如a+bi(a,b∈R)的数3.两个复数相等的充要条件4