能量原理和变分法课件.ppt

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1、第二章能量原理和变分法偏微分方程求解的困难能量原理的应用变分法变分法数学基础格林公式§2.1应变能（密度）外力功——变形体的能量关系应变能注意线弹性问题的变形能功－能关系位移边界面力边界弹性体体积V，表面积为S。位移给定表面Su面力给定表面Ss静力可能的应力与几何可能的位移S=Su+SsSuSs§2.2虚位移原理弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。虚功原理作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。

2、例题功的互等定理§2.3最小势能原理总势能——应变分量的泛函又是位移分量的泛函位移变分真实的位移使得总势能取最小值最小势能原理是变分表达的平衡条件数学形式等价于平衡微分方程和面力边界条件总势能概念最小势能原理基本思想——构造一个位移试函数——几何可能最小势能原理的应用Rayleigh—Ritz(瑞利—里兹)法Гапёркин(伽辽金)法通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。位移边界条件位移与面力边界条件解：首先用瑞利—里茨法位移试函数例1：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度w（x）。满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0总势能根据则所以回代

3、挠曲线表达式是无穷级数——精确解这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。如果取一项这一结果与精确值十分接近解：应用Гапёркин法位移试函数同时满足面力边界条件根据Гапёркин法分析可得解：位移试函数例2：矩形薄板，四边固定，受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用Rayleigh—Ritz法求解。m和n为正整数在边界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边界条件。平面应力问题因此将位移试函数代入求导数后再积分因此如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn§2.4虚力原理根据弹性体的稳定平衡状态与经过虚位移而到达的邻近状态的比较，得到了真实

4、位移使得总势能取最小值的结论——最小势能原理。假如问题分析的基本未知量不是位移，而是应力分量。——能量泛函中的应力变分虚应力方程dsij在位移边界引起的面力称为虚面力——dFsi应变余能概念虚应力总余能变分形式——最小余能原理真实应力使得总余能取驻值可以证明，对于稳定的平衡状态，真实应力使总余能取最小值。§2.5最小余能原理最小余能原理可以叙述为：在所有静力可能的应力中，真实应力使得总余能取最小值。应力变分方程或者最小余能原理等价于以应力分量表示的变形协调方程和位移边界条件。应力变分的实质就是应力解法用于能量原理——对于多连域问题，还有位移单值连续条件需要考虑，这将导致问题十分复杂。最小余

5、能原理的应用应力变分比位移变分方程更困难一、应力试函数必须同时满足平衡微分方程和面力位移边界条件；二、多连域的位移单值连续条件。应力函数——平面问题与柱体扭转。广义变分原理胡海昌——鹫久津一郎方程§2.6有限元概念基本方程——偏微分方程的边值问题变分原理——偏微分方程的边值问题转换为代数方程有限元原理——数值分析方法工程应用广泛，理论基础——变分原理。为什么变分原理在工程上的应用有限，而有限元原理却应用广泛。有限元原理与经典变分原理的差别位移试函数位移边界Su位移试函数构造困难有限元不是整体选取试函数而是在弹性体内分区（单元）完成的试函数形式简单统一近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计

6、算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元方法为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。大型通用有限元程序的广泛应用，使得有限元成为结构分析工具。以此为基础，CAD,CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。