变分法原理与技术.ppt

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1、最优控制中南大学信息科学与工程学院韩华2008.038/4/20211中南大学信息科学与工程学院自动化系第二章变分法及其在最优控制中的应用2.1变分法简介2.2泛函的变分2.3欧拉方程2.4横截条件2.5泛函局部极值的充分条件2.6等式约束条件下的变分问题2.7利用变分法求解最优控制问题小结8/4/20212中南大学信息科学与工程学院自动化系2.1变分法简介作为数学的一个分支，变分法(calculusofvariations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果:约翰·伯努利（JohannBernoull

2、i，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（TheBrachistochroneProblem）。8/4/20213中南大学信息科学与工程学院自动化系它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣.罗比塔（1661-1704）、雅可比·伯努利（1654-1705）、

3、莱布尼茨（1646-1716）和牛顿（1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化.欧拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。8/4/20214中南大学信息科学与工程学院自动化系有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(TheHangingChainProblem),向数学界征

4、求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。8/4/20215中南大学信息科学与工程学院自动化系伽利略（Galileo,1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens,1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那

5、时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程8/4/20216中南大学信息科学与工程学院自动化系解此方程并适当选取参数，得即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！8/4/20217中南

6、大学信息科学与工程学院自动化系现实生活中的许多现象可以表达为泛函求极值问题，称为变分问题。变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。什么叫泛函？8/4/20218中南大学信息科学与工程学院自动化系2.1泛函的变分一、泛函的定义如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解为“函数的函数”。8/4

7、/20219中南大学信息科学与工程学院自动化系例2.1.1函数的定积分都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。2.离散系统1.连续时间系统：是泛函吗？8/4/202110中南大学信息科学与工程学院自动化系例2.1.2在平面上连接给定两点A(ta，xa)和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如图2-1所示。当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)=xa，x(tb)=xb）给定后，可算出它在A、B两点间的弧长为：A(ta,xa)x(t)B(tb,xb)xot图2－1ΔtiΔxi8/4/202111中南大

8、学信息科学与工程学院自动化系例2.1.3函数的不定积分泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况：不是泛函。例如8/4/202112中南大学信息科学与工程学院自动化系几点说明：1、泛函是映射，是从函数空间到数域的映射。2、泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为泛函的宗量。3、容许函数空间：满足泛函的规定条件的宗量的全体所构成的函数空间。4、求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用