《能量原理与变分法》PPT课件

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1、西安交通大学航天航空学院宋亚勤yqsong@mail.xjtu.edu.cn2013年9-10月固体力学非线性数值方法7/26/20211第一章弹性力学简介第二节：能量原理与变分法1、弹性体形变势能2、泛函与变分——最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法3、位移变分方程4、应力变分方程——最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理5、自然变分原理和广义变分原理6、弹性力学修正变分原理7/26/202121.弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件应力边界条件；位移

2、边界条件；定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b）相容方程；（c）边界条件。（a）归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b）难以求得解析解。从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：（3）混合解法7/26/202132.弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理——能量原理直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立

3、一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，广义（约束）变分原理。——位移法——力法——混合法有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法。求解方法：里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法、最小二乘法、力矩法等。7/26/202143.弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）——有限差分法；基本思想：将导数运

4、算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解——有限单元法、边界元法、离散元法等典型有限元软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。——将问题转变为求解大型的线性方程组。7/26/20215§1弹性体的变形能（应变能）1.变形能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：PlO外力所做的功：由于在静载（缓慢加载）条件下

5、，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的变形能（或应变能）U：杆件的体积令：——单位体积的变形能（应变能），称为应变能密度。7/26/20216三向应力状态：一点的应力状态：xyz整个弹性体的应变能：若用张量表示：应变能密度：整体应变能：由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹性），此时，单元体的应变能密度：7/26/202172.应变能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程：代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：代入应变能公式，有：7/26/20

6、218表明：弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。3.应变能的应变分量表示用应变表示的物理方程：将应变能密度分别对6个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：7/26/20219代入应变能密度公式，并整理可得：将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，可得：7/26/202110将几何方程代入应变能的表达式，得：弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。4.应变能的位移分量表示表明：7/26/202111§2泛函与变分（1）函数与泛函的概念：函数：x——自变量；y——因变量

7、；泛函：x——自变量；y——为一变函数，泛函的宗量；F——为函数y的泛函；例：U被称为形变势能泛函。7/26/202112（2）微分变分设函数：当自变量x有一增量：函数y也有一增量：dx与dy分别称为自变量x与函数y的微分。设泛函：函数y有一增量：泛函U也有一增量：泛函的增量U等称为变分。——微分问题研究自变函数的增量与泛函的增量间关系称为变分问题。是函数取极值的必要条件。是泛函取极值的必要条件。7/26/202113例如：Pcr（1）压杆稳定问题寻求压杆形变势能U达到最大值时的压力P值。（2）最速降线问题12球从位置1下落至位置2，所需时间

8、为T，——泛函的变分问题7/26/202114（3）变分及其性质定义：泛函增量：函数连续性：称函数y在x0点连续。当有称泛函U在y0(x)处零阶接近。