大学物理 第九章 能量原理与变分法

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1、第九章能量原理与变分法第九章能量原理与变分法§9-1弹性体的变形比能与形变势能§9-2变分法§9-3位移变分方程与极小势能原理§9-4位移变分法§9-5位移变分法应用于平面问题§9-6应力变分方程与极小余能原理§9-7应力变分法§9-8应力变分法应用于平面问题§9-9应力变分法应用于扭转问题目录弹性力学问题需要求解满足某些边界条件的一系列偏微分方程组，这在数学上往往会遇到困难。因此，需要寻求近似的解法。基于能量原理的变分法（称为变分原理）是常用的一种近似解法。在数学上，变分问题是求泛函的极值问题。在弹性力学里，泛函就是弹性问题中的能量（功），变分法是求能量（功）的极值

2、，在求极值时可得到弹性问题的解，变分问题的直接法使我们能比较方便地得到近似解。1第九章能量原理与变分法§9-1弹性体的变形比能与形变势能变形比能设弹性体受有全部六个应力分量。叠加得到全部比能比能用应力分量表示的形式为比能用应变分量表示的形式为比能对应力分量求偏导可得应变分量，即意义：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。§9-1弹性体的变形比能与形变势能比能对应变分量的偏导为应力分量，即形变势能整个弹性体的形变势能为比能在弹性体的体积内的积分，即§9-1弹性体的变形比能与形变势能几何方程代入§9-1弹性体的变形比能与形变势能如果对于自变量x有微小

3、增量dx，函数y也有对应的微小增量dy，则增量dy称为函数y的微分，而如果对于变量x在某一变域上的每一个值，变量y有一个值和它对应，则变量y称为变量x的函数，记为——y对于x的导数。函数的变分§9-2变分法图中曲线AB示出y与x的函数关系并表示出微分dy。则增量称为函数y（x）的变分，显然，一般也是x的函数。在图中，用CD表示相应于新函数Y（x）的曲线，并表示出变分。§9-2变分法现在，假想函数y（x）的形式发生改变而成为新函数Y（x）,如果对应于x的一个定值，y具有微小的增量例如，假定AB表示某个量的一段挠度曲线,而y是梁截面的真实位移，则CD可以表示该梁发生虚拟位

4、移以后的挠度曲线，则虚位移就是真实位移y(x)的变分。§9-2变分法当y有变分时，导数一般也将有变分，它等于新函数的导数与原函数的导数这两者之差，即导数的变分等于变分的导数，因此，微分的运算和变分的运算可以交换次序。§9-2变分法例如，设xy面内有给定的两点A和B，则连接这两点的任意曲线的长度为如果对于某一类函数中的每一个函数y（x），变量I有一个值和它对应，则变量I称为依赖于函数y（x）的泛函，记为简单地说，泛函就是函数的函数。长度l就是函数y（x）的泛函。泛函及其变分§9-2变分法也将随着具有变分。一般情况下，泛函具有如下的形式x的复合函数当函数y（x）具有变分时

5、，导函数§9-2变分法或按照泰勒级数展开法则，函数f的增量可以写成§9-2变分法上式右边的前两项是函数f的增量的主部，定义为函数f的变分，表示为现在来进一步考察泛函I。当函数y（x）及导函数分别具有变分及时，泛函I的增量显然为§9-2变分法同样引入上述泛函变分的定义，则I的变分为将代入,得§9-2变分法由这就是说，只要积分的上、下限保持不变，变分的运算与定积分的运算也可以交换次序。则称函数y（x）在处达到极大值或极小值，而必要的极值条件为或dy=0。泛函的极值问题-变分问题如果函数y（x）在的邻近任一点上的值都大于或都小于，也就是对于泛函，也有相似的结论——如果泛函在

6、的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于，也就是§9-2变分法则称泛函在曲线上达到极大值或极小值，而必要的极值条件为曲线称为泛函的极值曲线。凡是有关泛函极值的问题，都称之为变分问题，而变分法主要就是研究如何求泛函极值的方法。§9-2变分法设图中y=y（x）所示曲线被指定通过A，B两点，也就是y（x）具有边界条件试由泛函的极值条件求出函数y（x）。§9-2变分法一个典型的变分问题：首先导出这一变分问题中极值条件的具体形式。在变分的表达式中，右边的第二部分是§9-2变分法进行分部积分，得但是，按照边界条件，在x=a及x=b处，y不变，因而有，可见§9-2变分法§9-2变

7、分法于是，根据的任意性，由得到极值条件由此可以得出函数y（x）的微分方程，而这一微分方程的解答将给出函数y（x）。注意，在上式中，偏导数只表示x，y，三者互不依赖时的运算，而微分运算中，必须考虑y及均为x的函数。于是由，从而由作为简例，试求图中AB曲线为最短时的函数y（x）。在这里，得得极值条件§9-2变分法其中C是任意常数。求解这一方程，得，从而得可见最短曲线为一直线。任意常数及可由边界条件求得。§9-2变分法位移变分方程设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，则满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示