能量原理与变分法.ppt

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1、第十一章能量原理与变分法要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想——最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法（2）位移变分法（3）应力变分法——最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理（4）位移变分法、应力变分法的应用§11-1弹性体的形变势能主要内容§11-2位移变分方程§11-3位移变分法§11-4位移变分法应用于平面问题§11-5应力变分方程§11-6应力变分法§11-7应力变分法应于平面问题§11-8应力变分法应于扭转问题§11-9解答的唯一性§11-10功的互等定理§11-0引言1.弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程

2、（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件应力边界条件；位移边界条件；定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b）相容方程；（c）边界条件。（a）归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b）难以求得解析解。从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：2.弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理——能量原理直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变

3、分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。——位移法——力法——混合法——有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法的理论基础。求解方法：里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin）法，加权残值（余量）法等。3.弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）——有限差分法；基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程

4、组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解——有限单元法、边界元法、离散元法等典型软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；——基于有限元法的分析软件；UDEC——基于离散元法的分析软件；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。——将问题转变为求解大型的线性方程组。§11-1弹性体的形变势能1.形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：PlOPl外力所做的功：由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的形变

5、势能（变形能）U：杆件的体积令：——单位体积的变形能，称为比能。三向应力状态：一点的应力状态：xyz三向应力状态：一点的应力状态：xyz由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：（a）整个弹性体的形变势能：（b）（c）若用张量表示：形变比能：整体形变势能：2.形变势能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（8-17）：代入式（a），整理得形变势能的表达式：（d）（e）代入式（b），有：（11-1）将式（e）分别对6个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：（11

6、-2）表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。3.形变势能的应变分量表示用应变表示的物理方程（8-19）：（f）或：代入式（a）：（a）并整理可得：（g）（11-3）∵0<<1/2，∴U≥0即弹性体的形变势能是非负的量。将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：（11-4）将几何方程（8-9）代入上式，得：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。——格林公式4.形变势能的位移分量表示表明：（11-5）§11-2位移变分方程1.泛函与变分的概念（1）泛函的概念函数：x——自变量；y——因变量，或称自变量

7、x的函数。泛函：x——自变量；y——为一变函数；F——为函数y的函数，称为泛函。例1：P1——弯矩方程梁的形变势能：ABlx——泛函例2：例2：因为所以，U被称为形变势能泛函。（2）变分与变分法设：当自变量x有一增量：函数y也有一增量：dy与dx，分别称为自变量x与函数y的微分。——微分问题P1ABlx设：函数y有一增量：泛函U也有一增量：P1ABlx设：函数y也有一增量：泛函U也有一增量：函数的增量y、泛函的增量U等称为变分。研究自变函数的增量与泛函的增量间关系