数学建模变分法ppt课件.ppt

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1、§.常见的数学建模方法---变分法实际问题：生产计划的制定问题工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同，在制定生产计划时要考虑生产和储存两种费用。生产费用取决于生产率（单位时间的产品数），生产率越高，费用越大；储存费用取决于已经生产出来的产品数，数量越多，费用越大。生产计划可以看作到每一时刻为止的产品累积量，它与每单位时间的产量可以互相推算。（教材p.224-p.227）建模目的（优化目标）：寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用（生产费用和储存费用之和）最小。建模假设：开始生产时刻记为t=0，按照合同应在t=T提

2、交数量为Q的产品。从开始生产时刻到任何时刻t为止的产品累积数，应是这一时刻t的函数，记作x(t)，这个函数即为所欲求出的生产计划。时刻t的生产率（单位时间的产品数）可以表示为x’(t)。一般而言，单位时间的生产费用应是生产率的函数，可以记作f(x’(t))；而单位时间的储存费用是产品累积数的函数，可以记为g(x(t))。于是从t=0到t=T的总费用是：(2)单位时间的储存费与这时的产品储存量(即产品累积量)成正比.为了明确f和g的具体函数形式,作如下进一步简化的建模假设：(1)单位时间的生产费用与这时的生产率的平方成正比；建模过

3、程：由假设（1），可以有：f(x’(t))=k1(x’(t))2.由假设（2），可以有:g(x(t))=k2x(t).因此可以有于是，制定最优生产计划问题归结为在固定端点条件x（0）=0和x（T）=Q下，确定x(t)是何种具体的非负函数、使泛函C(x(t))取得极小值的问题。J=J(x(t)),x(t)∈S.S称为J的容许函数集。泛函的概念设S为一个函数集合，若对每一个函数x(t)∈S,根据一个确定的对应规律，有一个实数J与之对应，则称J=J(x(t))是定义在函数集合上的泛函,记设S1={x(t)│x(t)为全体在点t=0处可

4、导的初等函数}，J=J(x(t))≡x’(0)，即算出函数x(t)在点t=0处的导数值。例如，J(sint)=1,J(cost)=0,J(et)=1,J(t2-3t+1)=-3等等。这个J(x(t))≡x’(0)就是定义在函数集合S1上的泛函；以前曾“学过”的泛函实例这个问题已经超出了微分学的范畴，需要用变分学的知识来求解，也就是要用变分法来建模和求解。即算出函数x(t)在区间[0,1]上的定积分之值。等等。这个就是定义在函数集合S2上的泛函；2.设S2={x(t)│x(t)为全体在区间[0,1]上可积的初等函数}，例如，3.设

5、S3={x(t)│x(t)为全体在区间[0，1]上连续的函数}，定义即算出函数x(t)在区间[0,1]上的最大值。等等。就是定义在函数集合S3上的泛函。例如这个泛函也有何时取极值的问题，也就是说，当在一个容许函数集合S上定义了一个泛函J之后，问：这个泛函J在这个容许函数集合S上各个“函数点”对应得出的值中，有无最大值（或最小值）？如果泛函J的最大值（或最小值）是存在的，它在哪个“函数元素点”x0(t)处取到最大值（或最小值）?这个最大值（或最小值）等于多少?与一（多）元函数微分学中的极值理论类似，泛函取极值的问题可以用变分法（不

6、称为微分法）来求解。类似于函数微分是函数增量的线性主部的概念，泛函有一个它规定为泛函增量的线性主部。相应的变分的概念，具体而言，给定可微（可导）函数y=f(x)及点x0,记Δx=x-x0，Δy=f(x)-f(x0)，则Δy≈dy(函数的微分)这里“≈”表示等式两边的差Δy-dy=o(Δx),函数微分是函数增量的线性主部的概念，如记泛函自变量在x0(t)处的增量为：δx(t)=x(t)–x0(t),由它引起的泛函的增量记作ΔJ=J(x0(t)+δx(t))–J(x0(t)),如果ΔJ可以表为：ΔJ=k(x0(t))·δx(t)+r

7、(x0(t),δx(t)),其中r是δx的高阶项，即则称k(x0(t))·δx(t)为泛函J(x(t))在x0(t)处的变分，记作δJ(x0(t)).指对一切t,x(t)-x0(t)→0或max│x(t)-x0(t)│→0.如不特别指明x0(t)，用变动的x(t)代替x0(t)，就有δJ(x(t)).类似一元函数微分学中的微分与导数的关联，泛函变分的一个计算公式是在固定x(t)和δx(t)下，泛函在“点”x(t)+a∙δx(t)处可以视为参数a的函数、在a=0处对参数a求导后的导数值：若J(x(t))在“点”x(t)处达到极大

8、(或极小)值,则必有在该“点”处的变分为零的结论：于是就有这是因为对任意的小参数a，总成立：这是因为此时增量ΔJ=J(x(t)+a∙δx(t))–J(x(t))所以=k(x(t))·（a∙δx(t)）+r(x(t),a∙δx(t))这个结论与“函数在极值点上的微