空间曲线及其方程课件.ppt

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1、设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(2)xyzoS1S2C二、空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程x2+y2=1x+y+z=2.yxz0例5:柱面x2+y2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是2.空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定

2、t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例6:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,A

3、OM=t.从而x=

4、OM

5、·cosAOM=acosty=

6、OM

7、·sinAOM=asint(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而z=MM=vt得螺旋线的参数方程x=acosty=asintz=vt注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acosy=asinz=b当从0变到0+是,z由b0变到b0+b,即M点上升的高度与OM转过的角度成正比.特别,当=2时,M点上升高度h=2b,h在工程上称h=2

8、b为螺距.3.空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程组(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5)方程(5)表示一个母线平行于z轴的柱面,曲线C一定在柱面上.xyzooC空间曲线C在xOy面上的曲线必定包含于:投影H(x,y)=0z=0注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.例7:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2=1和x2+(y1)2+(z1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:联立两个方程消去z,得两球面的交线C在xOy面上的

9、投影曲线方程为椭圆柱面设一个立体由上半球面　　　　　　　　和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解:半球面与锥面的交线为由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21于是交线C在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21例8:圆柱面)(研究方法是采用平面截痕法.§6二次曲面的标准方程1.定义由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,…,i,j为常数且a,b,不

10、全为零.c,d,e,fzoxyO2用平面z=k去截割(要求

11、k

12、c),得椭圆当

13、k

14、c时,

15、k

16、越大,椭圆越小;当

17、k

18、=c时,椭圆退缩成点.2.几种常见二次曲面.(1)椭球面1用平面z=0去截割,得椭圆3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.(2)椭圆抛物面:1平面z=k,(k0)截割,截线是平面z=k上的椭圆.k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2用平面y=k去截割,截线是抛物线3类似

19、地，用平面x=k去截割,截线是抛物线.一、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11a22－a12a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)副对角线主对角线1.定义1a12a21a22(＋)(－)§1n阶行列式的定义当a11a22－a12a210时，得唯一解对于a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)2、二元一次方程组的求解公式记方程组(1)的解可以表示为：——克莱姆(Gramer)法则(2)a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2引进记号：(+)(+)(+)(－)(－)(－)称为对应

20、于数表(3)的三阶行列式二、三阶行列式1.定义2设有数表(3)主对角线副对角线例如：易证：对于线性方程组(4)当方程组有唯一解，记则方程组(4)的解为：——克莱姆法则三、排列与逆序数<1>由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1,i2,…,in