算符运算的求法.pdf

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1、2005年安阳师范学院学报31浅谈量子力学中算符运算的多种求法戴岩伟(安阳师范学院物理系,河南安阳455000)[摘
要]本文通过举例介绍了几种算符常用运算方法:直接法、作用法、参数微分法、积分变换法、待定算符法、表象法。[关键词]算符;波函数;表象[中图分类号]0413.1


[文献标识码]A





[文章编号]1671-5330(2005)02-0031-022

量子系统的运动状态是用波函数描述的,但证明:
u

^是厄密算符,且(
u

^)=1,
u
物理学了解状态靠的是系统在该状态下的性质。
^有两个线性关系

2、的本征矢量,相应本征值为
怎样从状态得到物理性质呢?这涉及到量子理1,设这两个矢量为

3、
+>,

4、
->。论里如何描写物理性质或物理量。量子力学假(
u

^)

5、
+>=

6、
+>定:力学量(也称观测量)用线性厄米算符代表。(
u

^)

7、
->=

8、
->ii这样在量子力学里就引入了算符运算。利用算因而有e-2

u

^

9、
-2
(
1)
>=e

10、

>符可以较好地反映整体特征,利用它我们可以从

状态(波涵数)里提取力学性质,从而把理论计算=(cos
isin)

11、

>22与实验结合起来。而解决或推导算符的关系时,

除了要掌

12、握各有关算符的意义和性质外,还应了=(cos-i
u

^sin)

13、

>22解一些基本的算符运算方法。下面介绍几种在i-

u

^

所以有e2=cos-i
u

^sin解决有关算符问题时常见的运算方法:221
直接法3
参数微分法所谓
直接法
,就是算符无需作用于右矢或这种方法的要点是在所涉及的算符表达式波函数上,而是直接利用算符的定义、性质、已知中引入参数,例如,t通过t求导(或微分)可得一的对易关系、对易子代数等来进行运算。系列所需关系式,最后令t=1,即可得到原算符-i

u

^


例:求证e2=cos-iu

14、

^sin表达式所满足的一系列关系式,也可通过对引入22的同一参数的求导去证明原算符等式的两端均证明:我们知道满足有相同初值条件的同一微分方程。
n1


当n是偶数时^(u

^)=
这里算符A(t)对参变量的导数被定义为:u

^

当n是奇数时^^^
dA(t)A(t+
t)-A(t)-i

u

^1i
1=lim故e2=
(-
u

^)=
dt
t
0
tn=0n!2n为偶数n!且有如下的算符求导法则:in
1in

(-
)+u

^
(-
)=cos-iu^^2n为奇数n!22d^dAdB^d^dA^dB^(

15、A+B^)=+,(AB^)=B^+A
dtdtdtdtdtdt

^sini2-2

u

^

例:求证e=cos-i
u

^sin2
作用法22^-i

u

^这种方法是将算符或算符函数作用到态矢证明:设y(
)=e2(或波函数,甚至右矢)上,用以形成新的态矢或对
求导,则得形成矩阵元,从而把算符运算转化成矢量或数的^i^y
(
)=-
u

^y
(
)运算,注意算符作用于其上的态矢必须是任意22的,或者至少是任意的基矢。因为(
u

^)=1-i

u

^


^1^例:求证e2=cos-iu

^sin则有y

16、(
)=-y(
)224[收稿日期]2004-11-29[作者简介]戴岩伟(1976-),男,河南南阳市人,安阳师范学院物理系助教,从事理论物理教学与研究。32安阳师范学院学报2005年^

^-1^-1所以y(
)=(Asin+A
cos)+i(Bsin故k^0=A,k^n=AB^k^n-122^-1^-1^-1^-1由此知(A-
B^)=A+
AB^A+

2^-1^-1^-1+B
cos)
AB^AB^A+

22^6
表象法因y(0)=1,故B
=0,A
=1这种方法是通过选取适当的表象或通过表^i有因y
(0)=-

17、
u

^,所以A=0,B=-象变换得到合适的表象,进而把算符运算转化为2适当的矩阵运算或矩阵元(数)的运算。通常,应
u

^尽可能地选择问题中所涉及算符的对角表象(自所以原命题得以证明。^^4
积分变换法身表象)。在A为对角的表象中,F(A)由元素F^^(ak)的对角矩阵表示,其中ak是A的本征值。涉及较复杂的算符函数F(A)时,常可使用^-i

u

^

A例:求证e2=cos-i
u

^sin积分变换,把它用算符指数函数e表达出来22^ikA^F(A)=
dkF
(k)e,其中
F(K)为普通函数证明:选
u

^

18、的自身表象2从而可利用算符指数函数来进行研究。因(
u

^)=1,其本征值
=
1则使用这种方法时也要和参数微分法注意同-i
21

0-i

u

^e

0样的问题。
u

^
,e2
i
^^^0

-10

e2例:求证[A,F(B^)]=F
(B^)[A,B^],